Question

在△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在線段BC上，∠EDB=

1

2

∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，（如圖1），
①∠EBF=

 

°；
②探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）當(dāng)AB=kAC時(shí)（如圖2），求

BE

FD

的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題意可判斷△ABC為等腰直角三角形，據(jù)此即可推斷∠C=45°，進(jìn)而可知∠EDB=22.5°．然后求出∠EBF的度數(shù)．
②根據(jù)題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)，得到BE與FD的數(shù)量關(guān)系．
（2）首先證明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性質(zhì)得到BE與FD的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）①∵AB=AC∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=

1

2

∠C
∴∠EDB=22.5°
∵BE⊥DE
∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°-45°=22.5°
②在△BEF和△DEB中
∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如圖：作BG平分∠ABC，交DE于G點(diǎn)，
∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形
設(shè)EF=x，BE=y，
則：BG=GD=

2

y
FD=

2

y+y-x
∵△BEF∽△DEB
∴

EF

BE

=

BE

ED

即：

x

y

=

y

y+ 2 y

得：x=（

2

-1）y
∴FD=

2

y+y-（

2

-1）y=2y
∴FD=2BE．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，與BA交于點(diǎn)N，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠C，
∵∠EDB=

1

2

∠C，
∴∠EDB=∠GDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠DEG，
DE=DE，
∴△DEG≌△DEB，
∴BE=

1

2

GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，
∴△GBN∽△FDN，
∴

GB

FD

=

NB

DN

，即

BE

FD

=

BN

2DN

，
又∵DG∥AC，
∴△BND∽△BAC，
∴

BN

AB

=

DN

CA

，即

BN

DN

=

AB

AC

=k，
∴

BE

FD

=

K

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行判定和計(jì)算．（2）結(jié)合圖形利用三角函數(shù)和相似三角形進(jìn)行計(jì)算求出線段間的關(guān)系．