Question

已知：△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．
（1）如圖①AD⊥BC于D，若∠C=70°，∠B=30°，請你用量角器直接量出∠DAE的度數；
（2）若△ABC中，∠B=α，∠C=β（α＜β），根據第一問的結果大膽猜想∠DAE與α、β間的等量關系，不必說理由；
（3）如圖②所示，在△ABC中AD⊥BC，AE平分∠BAC，F是AE上的任意一點，過F作FG⊥BC于G，且∠B=40°，∠C=80°，請你運用（2）中結論求出∠EFG的度數；
（4）在（3）的條件下，若F點在AE的延長線上（如圖③），其他條件不變，則∠EFG的度數大小發(fā)生改變嗎？說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAC度數，求出∠CAE度數，求出∠CAD，相減即可．
（2）求出∠BAC度數，求出∠CAE度數，求出∠CAD，相減即可．
（3）推出AD∥FG，根據平行線性質得出∠EFG=∠DAE，代入即可．
（4）推出AD∥FG，根據平行線性質得出∠EFG=∠DAE，代入即可．

解答：解：（1）∵∠C=70°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-30°-70°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-20°=20°；

（2）∠DAE=

1

2

β-

1

2

α，
理由是：∵∠C=β，∠B=α，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-α-β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×（180°-α-β）=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=180°-90°-β=90°-β，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-

1

2

α-

1

2

β-（90°-β）=

1

2

β-

1

2

α；

（3）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠DAE=

1

2

×80°-

1

2

×40°=20°，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADE=∠FGE=90°，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠DAE=20°；

（4）∠EFG的度數大小不發(fā)生改變，
理由是：∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠ADE=∠FGE=90°，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠DAE=20°．

點評：本題考查了垂直定義，三角形內角和定理，角平分線定義，平行線的性質和判定的應用，題目比較好，求解過程類似．