【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=3.點E在線段BA上從B點以每秒1個單位的速度出發(fā)向A點運動,F(xiàn)是射線CD上一動點,在點E、F運動的過程中始終保持EF=5,CF>BE,點PEF的中點,連接AP.設點E運動時間為ts

(1)在點E、F運動的過程中,AP的長度存在一個最小值,當AP的長度取得最小值時,點P的位置應該在

(2)當AP⊥EF時,求出此時t的值

(3)以P為圓心作⊙P,當P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時,求出此時t的值,并指出此時P的半徑長.

【答案】1AD的中點;(2t=s);(3,;

【解析】

1)在點E、F運動的過程中始終保持EF5,且CF>BE,故EF在運動過程中始終保持平行移動,因為點PEF的中點,則點P始終在過EF的中點且平行于AB的直線上運動,運動軌跡為一條線段,在運動過程中,根據(jù)垂線段最短可得PAD的中點時,AP的長度最。
2)首先過點EEGCD于點G,易證得APE∽△EGF,然后由相似三角形的對應邊成比例,求得AE的長,繼而求得答案;
3)分兩種情況考慮:當⊙P在矩形ABCD內(nèi)分別與AB、AD、CD相切于點Q、R、N時,連接PQ,PR,PN,如圖3所示,可得出四邊形AQPR和四邊形RPND為兩個全等的正方形,其邊長為大正方形邊長的一半,在直角三角形PQE中,由PEPQ的長,利用勾股定理求出EQ的長,進而由BA+AQ-EQ求出BE的長,即為t的值,并求出此時⊙P的半徑;當⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點Q、RN時,如圖4所示,同理求出BE的長,即為t的值,并求出此時⊙P的半徑.

1)在點E、F運動的過程中始終保持EF5,且CF>BE,故EF在運動過程中始終保持平行移動,因為點PEF的中點,則點P始終在過EF的中點且平行于AB的直線上運動,運動軌跡為一條線段,如圖所示:根據(jù)垂線段最短可得PAD的中點時,AP的長度最。


故答案為:AD的中點;

2)過點EEGCD于點G,如圖2
則四邊形BCGE是矩形,
EG=BC=3,ABCD,

FG=,∠AEP=EFG

APEF,
∴∠APE=EGF=90°,
∴△APE∽△EGF,

AE=

BE=6-

t=s

3)如圖3,當⊙P在矩形ABCD內(nèi)分別與AB、ADCD相切于點Q、R、N時,
連接PQ、PRPN,則PQAB、PRADPNCD,


則四邊形AQPR與四邊形RPND為兩個全等的正方形,
PQ=AQ=AR=DR=AD=,
RtPQE中,EP=,由勾股定理可得:EQ=2
BE=BA-EQ-AQ=6-2-=,
t=,此時⊙P的半徑為;
如圖4,當⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點Q、R、N時,


類比圖3可得,EQ=2,AQ=
BE=BA+AQ-EQ=6+-2=,
t=,此時⊙P的半徑為

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i)若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為13的兩部分,求點E的坐標;

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數(shù)

10001200

3

0.060

12001400

12

0.240

14001600

18

0.360

16001800

0.200

18002000

5

20002200

2

0.040

合計

50

1.000

請你根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:

補全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;

50個家庭人均月收入的中位數(shù)落在 小組;

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