Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC的平分線AQ交BC于點(diǎn)P，交⊙O于點(diǎn)Q．已知AC=6，∠AQC=30度．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)P到AB的距離；
（3）求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等和直徑所對(duì)的圓周角時(shí)90度，確定△ABC是有一個(gè)角為90度的直角三角形，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出△APB為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一，PO的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到AB的距離；
（3）連接OP，根據(jù)角平分線和等腰三角形的性質(zhì)，求出PQ=CP=PO=2．
解答：解：（1）因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ACB=90度．
又因?yàn)椤螦BC=∠AQC=30°，AC=6，則AB=12．

（2）由（1）可知∠BAC=60°，AO=6，由于AQ是∠BAC的平分線，
所以∠CAQ=∠BAQ=30°，則有∠BAQ=∠ABC=30°，
所以△APB是等腰三角形．
連接PO，則PO就是點(diǎn)P到AB的距離．
在Rt△AOP中，PO=AO•tan30°=2．
故所求點(diǎn)P到AB的距離為2．

（3）因?yàn)椤螧CQ=∠BAQ=30°，
∴∠AQC=∠BCQ，則PQ=CP，
由于AP是∠BAC的平分線，∠ACP=∠AOP=90°，
所以CP=PO=2，那么PQ=2．
點(diǎn)評(píng)：此題將解直角三角形、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理有機(jī)結(jié)合起來，是一道好題．