Question

（2012•常德）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點(diǎn)，一動點(diǎn)P從B開始，沿射線BC運(yùn)動，連接DP，作CN⊥DP于點(diǎn)M，且交直線AB于點(diǎn)N，連接OP，ON．（當(dāng)P在線段BC上時，如圖1：當(dāng)P在BC的延長線上時，如圖2）
（1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；
（2）設(shè)AB=4，BP=x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90°，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，證△DCP≌△CBN，求出CP=BN，證△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB即可；
（2）同法可證圖2時，OP=ON，OP⊥ON，圖1中，S_{四邊形OPBN}=S_△OBN+S_△BOP，代入求出即可；圖2中，S_{四邊形OBNP}=S_△POB+S_△PBN，代入求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，
∵DP⊥CN，
∴∠CMD=∠DOC=90°，
∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，
∴∠CPD=∠CNB，
∵DC∥AB，
∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，
∵在△DCP和△CBN中

∠DCB=∠CBN ∠CPD=∠BNC DC=BC

，
∴△DCP≌△CBN（AAS），
∴CP=BN，
∵在△OBN和△OCP中

OB=OC ∠OCP=∠OBN CP=BN

，
∴△OBN≌△OCP（SAS），
∴ON=OP，∠BON=∠COP，
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，
即∠NOP=∠BOC=90°，
∴ON⊥OP，
即ON=OP，ON⊥OP．

（2）解：∵AB=4，四邊形ABCD是正方形，
∴O到BC邊的距離是2，
圖1中，S_{四邊形OPBN}=S_△OBN+S_△BOP，
=

1

2

×（4-x）×2+

1

2

×x×2，
=4（0＜x＜4），
圖2中，S_{四邊形OBNP}=S_△POB+S_△PBN
=

1

2

×x×2+

1

2

×（x-4）×x
=

1

2

x²-x（x＞4），
即以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系是：

y=4(0＜x＜4) y= 1 2 x2-x(x＞4)

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，分段函數(shù)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，解（2）的關(guān)鍵是求出符合條件的所有情況，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意：證明過程類似．