Question

從1，2，3…2004中任選k個(gè)數(shù)，使所選的k個(gè)數(shù)中，一定可以找到能構(gòu)成三角形邊長(zhǎng)的三個(gè)數(shù)（這里要求三角形邊長(zhǎng)互不相等），試問滿足條件的k的最小值是________．

Answer 1

17
分析：這一問題等價(jià)于在1，2，3，2004中選k個(gè)數(shù)，使其中任意三個(gè)數(shù)都不能成為三邊互不相等的一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，試問滿足這一條件的k的最大值是多少？符合上述條件的數(shù)組，當(dāng)k=4時(shí)，最小的三個(gè)數(shù)就是1，2，3，由此可不斷擴(kuò)大該數(shù)組，只要加入的數(shù)大于或等于已得數(shù)組中最大的兩個(gè)數(shù)之和．
解答：為使k達(dá)到最大，可選加入之?dāng)?shù)等于已得數(shù)組中最大的兩數(shù)之和，這樣得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16個(gè)數(shù)，對(duì)符合上述條件的任數(shù)組，a₁，a₂…a_n顯然總有a_i大于等于①中的第i個(gè)數(shù)，
所以n≤17≤k，從而知k的最小值為17．
故答案為：17．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形三邊關(guān)系．解題關(guān)鍵是得到加入之?dāng)?shù)等于已得數(shù)組中最大的兩數(shù)之和的16個(gè)數(shù)，從而列不等式求出k的最小值．