Question

“數(shù)形結(jié)合”是一種極其重要的思想方法．例如，我們可以利用數(shù)軸解分式不等式

1

x

＜1（x≠0）．先考慮不等式的臨界情況：方程

1

x

=1的解為x=1．如圖，數(shù)軸上表示0和1的點(diǎn)將數(shù)軸“分割”成x＜0、0＜x＜1和x＞1三部分（0和1不算在內(nèi)），依次考察三部分的數(shù)可得：當(dāng)x＜0和x＞1時(shí)，

1

x

＜1成立．理解上述方法后，嘗試運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法解決下列問(wèn)題：
（1）分式不等式

1

x

＞1的解集是

0＜x＜1

；
（2）求一元二次不等式x²-x＜0的解集；
（3）求絕對(duì)值不等式|x+1|＞5的解集．

Answer 1

分析：（1）利用已知中當(dāng)x＜0和x＞1時(shí)，

1

x

＜1成立，即可得出分式不等式

1

x

＞1的解集；
（2）利用方程的解以及數(shù)軸得出即可；
（3）利用絕對(duì)值的性質(zhì)和方程的解以及數(shù)軸得出即可．

解答：解：（1）由題意可得出：0＜x＜1．
故答案為：0＜x＜1．

（2）解方程x²-x=0，得x=0和x=1，
畫數(shù)軸得出：
，
∴x²-x＜0的解集為：0＜x＜1；

（3）不等式|x+1|＞5的解為：x=4或x=-6，
畫數(shù)軸得：
，
∴|x+1|＞5的解集是：x＞4和x＜-6．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及利用圖象得出不等式的解集，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．