Question

如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線y=-

1

2

x+b交折線OAB于點(diǎn)E．
（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，DE=

5

，試探究四邊形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）時(shí)，則b=

3

2

；
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，1）時(shí)，則b=

5

2

；
若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，1）時(shí)，則b=1．
①如圖1，若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即1＜b≤

3

2

，
此時(shí)E（2b，0）
∴S=

1

2

OE•CO=

1

2

×2b×1=b；
②如圖2，若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即

3

2

＜b＜

5

2

，
此時(shí)E（3，b-

3

2

），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[

1

2

（2b-2）×1+

1

2

×（5-2b）•（

5

2

-b）+

1

2

×3（b-

3

2

）]
=

5

2

b-b²，
綜上所述，S=

b(1＜b≤ 3 2 ) 5 2 b-b2( 3 2 ＜b＜ 5 2 )

；

（2）如圖3，設(shè)O₁A₁與CB相交于點(diǎn)M，OA與C₁B₁相交于點(diǎn)N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形
根據(jù)軸對(duì)稱知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形．
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，設(shè)菱形DNEM的邊長(zhǎng)為a，
由題意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=

5

4

，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=

5

4

．
∴矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為

5

4

．