【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,點P為△ABC內(nèi)一點.

(1)連接PB,PC,將△BCP沿射線CA方向平移,得到△DAE,點B,C,P的對應(yīng)點分別為點D、

A、E,連接CE.

①依題意,請在圖2中補全圖形;

②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的長

(2)如圖3,以點A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN,連接PA、PB、PC,當(dāng)AC=3,

AB=6時,根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)①連接PB、PC,將△BCP沿射線CA方向平移,得到△DAE,點B、C、P的對應(yīng)點分別為點D、A、E,連接CE,據(jù)此畫圖即可;②連接BD、CD,構(gòu)造矩形ACBD和Rt△CDE,根據(jù)矩形的對角線相等以及勾股定理進(jìn)行計算,即可求得CE的長;

(2)以點A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN,連接BN,根據(jù)△PAM、△ABN都是等邊三角形,可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根據(jù)當(dāng)C、P、M、N四點共射線,PA+PB+PC的值最小,此時△CBN是直角三角形,利用勾股定理即可解決問題.

解:(1)①補全圖形如圖所示;

②如圖,連接BD、CD

∵△BCP沿射線CA方向平移,得到△DAE,

∴BC∥AD且BC=AD,

∵∠ACB=90°,

∴四邊形BCAD是矩形,∴CD=AB=6,

∵BP=3,∴DE=BP=3,

∵BP⊥CE,BP∥DE,∴DE⊥CE,

∴在Rt△DCE中, ;

(2)證明:如圖所示,

當(dāng)C、P、M、N四點共線時,PA+PB+PC最小

由旋轉(zhuǎn)可得,△AMN≌△APB,

∴PB=MN

易得△APM、△ABN都是等邊三角形,

∴PA=PM

∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN,

∴BN=AB=6,∠BNA=60°,∠PAM=60°

∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°,

∴∠CBN=90°

在Rt△ABC中,易得

∴在Rt△BCN中,

“點睛”本題屬于幾何變換綜合題,主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形,依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計算求解.

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其中, __________

(3)在平面直角坐標(biāo)系中,描出以上表中各隊對應(yīng)值為坐標(biāo)的點,并畫出該函數(shù)的圖象;

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組別

A型

B型

AB型

O型

頻率

0.4

0.35

0.1

0.15


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B.14人
C.4人
D.6人

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