【題目】ABC中,AB=AC,點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),以CF為邊,作菱形CDEF,使菱形CDEF與點(diǎn)A在BC的同側(cè),連接BE,點(diǎn)G是BE的中點(diǎn),連接AG、DG.

(1)如圖①,當(dāng)BAC=DCF=90°時(shí),直接寫(xiě)出AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖②,當(dāng)BAC=DCF=60°時(shí),試探究AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系,

(3)當(dāng)BAC=DCF=α?xí)r,直接寫(xiě)出AG與DG的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1) AGDG,AG=DG;(2) AGDG,AG=DG,證明詳見(jiàn)解析;(3)DG=AGtan.

【解析】

試題分析:(1)延長(zhǎng)DG與BC交于H,連接AH、AD,通過(guò)證得BGH≌△EGD求得BH=ED,HG=DG,得出BH=DC,然后證得ABH≌△ACD,得出BAH=CAD,AH=AD,進(jìn)而求得HAD=90°,即可求得AGGD,AG=GD;

(2)延長(zhǎng)DG與BC交于H,連接AH、AD,通過(guò)證得BGH≌△EGD求得BH=ED,HG=DG,得出BH=DC,然后證得ABH≌△ACD,得出BAH=CAD,AH=AD,進(jìn)而求得HAD是等邊三角形,即可證得AGGD,AG=DG;

(3)延長(zhǎng)DG與BC交于H,連接AH、AD,通過(guò)證得BGH≌△EGD求得BH=ED,HG=DG,得出BH=DC,然后證得ABH≌△ACD,得出BAH=CAD,AH=AD,進(jìn)而求得HAD是等腰三角形,即可證得DG=AGtan

試題解析:(1)AGDG,AG=DG,

證明:延長(zhǎng)DG與BC交于H,連接AH、AD,

四邊形CDEF是正方形,

DE=DC,DECF,

∴∠GBH=GED,GHB=GDE,

G是BC的中點(diǎn),

BG=EG,

BGH和EGD中

∴△BGH≌△EGD(AAS),

BH=ED,HG=DG,

BH=DC,

AB=AC,BAC=90°,

∴∠ABC=ACB=45°,

∵∠DCF=90°,

∴∠DCB=90°,

∴∠ACD=45°,

∴∠ABH=ACD=45°,

ABH和ACD中

∴△ABH≌△ACD(SAS),

∴∠BAH=CAD,AH=AD,

∵∠BAH+HAC=90°,

∴∠CAD+HAC=90°,即HAD=90°,

AGGD,AG=GD;

(2)AGGD,AG=DG;

證明:延長(zhǎng)DG與BC交于H,連接AH、AD,

四邊形CDEF是正方形,

DE=DC,DECF,

∴∠GBH=GED,GHB=GDE,

G是BC的中點(diǎn),

BG=EG,

BGH和EGD中

∴△BGH≌△EGD(AAS),

BH=ED,HG=DG,

BH=DC,

AB=AC,BAC=DCF=60°,

∴∠ABC=60°,ACD=60°,

∴∠ABC=ACD=60°,

ABH和ACD中

∴△ABH≌△ACD(SAS),

∴∠BAH=CAD,AH=AD,

∴∠BAC=HAD=60°;

AGHD,HAG=DAG=30°,

tanDAG=tan30°=,

AG=DG.

(3)DG=AGtan

證明:延長(zhǎng)DG與BC交于H,連接AH、AD,

四邊形CDEF是正方形,

DE=DC,DECF,

∴∠GBH=GED,GHB=GDE,

G是BC的中點(diǎn),

BG=EG,

BGH和EGD中

∴△BGH≌△EGD(AAS),

BH=ED,HG=DG,

BH=DC,

AB=AC,BAC=DCF=α,

∴∠ABC=90°﹣,ACD=90°﹣

∴∠ABC=ACD,

ABH和ACD中

∴△ABH≌△ACD(SAS),

∴∠BAH=CAD,AH=AD,

∴∠BAC=HAD=α;

AGHD,HAG=DAG=,

tanDAG=tan=

DG=AGtan

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3)如圖③,當(dāng)射線OC在∠AOB外繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),畫(huà)出圖形,判斷∠DOE的大小是否發(fā)生變化若變化,說(shuō)明理由;若不變,求∠DOE的度數(shù).

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①數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是 , 數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是
②數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點(diǎn)之間的距離表示為
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(3)圖③中,∠APD的度數(shù)為_______;

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