Question

已知：關于x的一元二次方程x²+2（2-m）x+3-6m=0．
（1）求證：x無論為任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
（2）拋物線y=x²+2（2-m）x+3-6m與x軸交于A、B兩點，A在原點左側，B在原點右側，且OA=3OB，請確定拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿x軸方向向右平移2個單位長度，得到一個新的拋物線，請結合函數(shù)圖象回答：當直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個交點時，實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想證明x無論為任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根，△≥0即可證明；
（2）先解方程，得出兩個解，再根據(jù)OA與OB的關系求出m值，即可求出拋物線的解析式；
（3）觀察兩個拋物線的圖象，便可知道當m＞-4且m≠-3時，直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個交點．
解答：解：（1）證明：△=[2（2-m）]²-4（3-6m）
=4（m+1）²（1分）
m為任何實數(shù)時，（m+1）²≥0，4（m+1）²≥0．
即：△≥0（2分）
x無論為任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根．

（2）解：由題意得，x²+2（2-m）x+3-6m=0，
解得x₁=-3，x₂=2m-1（3分）
A（-3，0），B（2m-1，0）
∵OA=3OB，
∴3=3（2m-1）
解得，m=1，y=x²+2x-3；

（3）解：由圖象可知，兩個圖象交于（0，-3）
當m＞-4且m≠-3時，直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個交點．（7分）
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和方程有實數(shù)根的證明知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結合數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．