【題目】△ABC中,AD是BC邊上的高,BD=3,CD=1,AD=2,P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動點(diǎn),則△PQR周長的最小值為

【答案】
【解析】如圖1中,作P點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P′,作P點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P″,連接P′P″,與AB交于點(diǎn)Q′,與AC交于點(diǎn)R′,連接PP′交AB于M,連接PP″交AC于N,

此時△PQ′R′的周長最小,這個最小值=P′P″,

∵PM=MP′,PN=NP″,

∴P′P″=2MN,

∴當(dāng)MN最小時P′P″最。鐖D2中,

∵∠AMP=∠ANP=90°,

∴A、M、P、N四點(diǎn)共圓,線段AP就是圓的直徑,MN是弦,

∵∠MAN是定值,

∴直徑AP最小時,弦MN最小,

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時,PA最小,此時MN最小.

如圖3中,

∵在RT△ABD中,∠ADB=90°,AD=2,DB=3,

∴AB= ,在RT△ADC中,

∵∠ADC=90°,AD=2,CD=1,

∴AC= ,

∵DM⊥AB,DN⊥AC,

ACDN= DCAD,

∴DN= ,AN= ,

∵∠MAD=∠DAB,∠AMD=∠ADB,

∴△AMD∽△ADB,∴

=AMAB,同理 =ANAC,

∴AMAB=ANAC,

,

∵∠MAN=∠CAB,∴△AMN∽△ACB,

,

,

∴MN=

∴△PQR周長的最小值=P′P″=2MN=

故答案為:

如圖1中,作P點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P′,作P點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)P″,連接P′P″,與AB交于點(diǎn)Q′,與AC交于點(diǎn)R′,連接PP′交AB于M,連接PP″交AC于N,此時△PQ′R′的周長最小,這個最小值=P′P″,然后證出P′P″=2MN,當(dāng)MN最小時P′P″最小.如圖2中, 根據(jù)圓周角定理得出A、M、P、N四點(diǎn)共圓,線段AP就是圓的直徑,MN是弦,又由于∠MAN是定值,故直徑AP最小時,弦MN最小,從而知道當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時,PA最小,此時MN最小,如圖3中,首先根據(jù)勾股定理得出AB,AC的長度,然后根據(jù)面積法得出DN長,再根據(jù)勾股定理算出AN的長,進(jìn)而判斷出△AMD∽△ADB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 A D 2 =AMAB,同理 A D 2 =ANAC,故AMAB=ANAC,從而再判斷出△AMN∽△ACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出MN的長,從而得出答案。

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B.
C.
D.

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