(2013•太原)數(shù)學活動---求重疊部分的面積.
問題情境:數(shù)學活動課上,老師出示了一個問題:
如圖1,將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,頂點D與邊AB的中點重合,DE經(jīng)過點C,DF交AC于點G.求重疊部分(△DCG)的面積.

(1)獨立思考:請回答老師提出的問題.
(2)合作交流:“希望”小組受此問題的啟發(fā),將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn),使DE⊥AB交AC于點H,DF交AC于點G,如圖2,你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎?請寫出解答過程.
(3)提出問題:老師要求各小組向“希望”小組學習,將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn),再提出一個求重疊部分面積的問題.
“愛心”小組提出的問題是:如圖3,將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn),DE,DF分別交AC于點M,N,使DM=MN,求重疊部分(△DMN)的面積.
任務:①請解決“愛心”小組提出的問題,直接寫出△DMN的面積是
75
16
75
16

②請你仿照以上兩個小組,大膽提出一個符合老師要求的問題,并在圖4中畫出圖形,標明字母,不必解答(注:也可在圖1的基礎上按順時針旋轉(zhuǎn)).
分析:(1)確定點G為AC的中點,從而△ADC為等腰三角形,其底邊AC=8,底邊上的高GD=
1
2
BC=3,從而面積可求;
(2)本問解法有多種,解答中提供了三種不同的解法.基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解;
(3)①對于愛心小組提出的問題,如答圖4所示,作輔助線,利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì),列方程求解;
②本問要求考生自行提出問題,答案不唯一,屬于開放性問題.
解答:解:(1)【獨立思考】
∵∠ACB=90°,D是AB的中點,
∴DC=DA=DB,∴∠B=∠DCB.
又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B.
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC.
∴∠AGD=∠ACB=90°,∴DG⊥AC.
又∵DC=DA,∴G是AC的中點,
∴CG=
1
2
AC=
1
2
×8=4,DG=
1
2
BC=
1
2
×6=3,
∴S△DGC=
1
2
CG•DG=
1
2
×4×3=6.

(2)【合作交流】
解法一:如下圖所示:

∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1.
∵∠C=90°,ED⊥AB,
∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2,
∴GH=GD.
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠A=∠3,∴AG=GD,
∴AG=GH,即點G為AH的中點.
在Rt△ABC中,AB=
AC2+BC2
=
82+62
=10,
∵D是AB中點,∴AD=
1
2
AB=5.
在△ADH與△ACB中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB,∴
AD
AC
=
DH
CB
,即
5
8
=
DH
6
,解得DH=
15
4
,
∴S△DGH=
1
2
S△ADH=
1
2
×
1
2
×DH•AD=
1
4
×
15
4
×5=
75
16

解法二:同解法一,G是AH的中點.
連接BH,∵DE⊥AB,D是AB中點,

∴AH=BH.設AH=x,則CH=8-x.
在Rt△BCH中,CH2+BC2=BH2
即:(8-x)2+36=x2,解得x=
25
4

∴S△ABH=
1
2
AH•BC=
1
2
×
25
4
×6=
75
4

∴S△DGH=
1
2
S△ADH=
1
2
×
1
2
S△ABH=
1
4
×
75
4
=
75
16

解法三:同解法一,∠1=∠2.
連接CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1,
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB.
∴△DGH∽△BDC.
過點D作DM⊥AC于點M,CN⊥AB于點N.

∵D是AB的中點,∠ACB=90°,
∴CD=AD=BD,∴點M是AC的中點,
∴DM=
1
2
BC=
1
2
×6=3.
在Rt△ABC中,AB=
AC2+BC2
=
82+62
=10,
1
2
AC•BC=
1
2
AB•CN,
∴CN=
AC•BC
AB
=
8×6
10
=
24
5

∵△DGH∽△BDC,
S△DGH
S△BDC
=(
DM
CN
)2

∴S△DGH=(
DM
CN
)2
•S△BDC=(
DM
CN
)2
1
2
BD•CN
∴S△DGH=(
3
24
5
)
2
×
1
2
×5×
24
5
=
75
16


(3)【提出問題】
①解決“愛心”小組提出的問題.
如答圖4,過點D作DK⊥AC于點K,則DK∥BC,
又∵點D為AB中點,
∴DK=
1
2
BC=3.

∵DM=MN,∴∠MND=∠MDN,由(2)可知∠MDN=∠B,
∴∠MND=∠B,又∵∠DKN=∠C=90°,
∴△DKN∽△ACB,
KN
BC
=
DK
AC
,即
KN
6
=
3
8
,得KN=
9
4

設DM=MN=x,則MK=x-
9
4

在Rt△DMK中,由勾股定理得:MK2+DK2=MD2,
即:(x-
9
4
2+32=x2,解得x=
25
8
,
∴S△DMN=
1
2
MN•DK=
1
2
×
25
8
×3=
75
16

②此題答案不唯一,示例:如答圖5,將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn),使DE⊥BC于點M,DF交BC于點N,求重疊部分(四邊形DMCN)的面積.
點評:本題是幾何綜合題,考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、圖形面積計算、解方程等知識點.題干信息量大,篇幅較長,需要認真讀題,弄清題意與作答要求.試題以圖形旋轉(zhuǎn)為背景,在旋轉(zhuǎn)過程中,重疊圖形的形狀與面積不斷發(fā)生變化,需要靈活運用多種知識予以解決,有利于培養(yǎng)同學們的研究與探索精神,激發(fā)學習數(shù)學的興趣,是一道好題.
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