Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，cosB=

1

3

，BC=2，點D、E、F分別在AC、AB、BC邊上，△BEF沿直線EF翻折后與△DEF重合．
（1）試問△DFC是否有可能與△ABC相似，如有可能，請求出CD的長；如不可能，請說明理由；
（2）當(dāng)點D為AC的中點時，求BF的長；
（3）設(shè)CD=x，BF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析：（1）分△DFC∽△ABC和△DFC∽△BAC兩種情況討論求出CD的長；
（2）過點D作DG⊥BC，垂足為G，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)、三角函數(shù)和勾股定理即可求出BF的長；
（3）與（2）同理可得y與x的函數(shù)解析式．

解答：解：過點A作AH⊥BC，垂足為H，
∵AB=AC，∴BH=

1

2

BC=1，
∴AC=AB=

BH

cosB

=3，

（1）△DFC有可能與△ABC相似．
設(shè)CD=x，
①當(dāng)△DFC∽△ABC時，∠DFC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CD=x，CF=2-x，

CD

CA

=

CF

CB

，

x

3

=

2-x

2

，x=

6

5

，
②當(dāng)△DFC∽△BAC時，∠FDC=∠B=∠C，
∴BF=DF=CF=1，

CD

CB

=

CF

CA

，

x

1

=

2

3

，x=

2

3

，
∴CD的長為

6

5

或

2

3

；

（2）過點D作DG⊥BC，垂足為G，
∴CD=

1

2

AC=

3

2

，
∴CG=CD•cosC=

3

2

×

1

3

=

1

2

，
DG=

CD2-CG2

=

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

，
設(shè)BF=y，則DF=y，F(xiàn)G=2-y-

1

2

=

3

2

-y，
∵DG²+FG²=DF²，
∴(

2

)2+(

3

2

-y)2=y2，
∴y=

17

12

；

（3）與（2）同理可得：CG=

1

3

x，DG=

2 2

3

x，
FG=2-

1

3

x-y，
(

2 2

3

x)2+(2-

1

3

x-y)2=y2，
∴函數(shù)解析式為：y=

3x2-4x+12

12-2x

（0＜x＜2）．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、翻折變換（折疊問題）和解直角三角形，