Question

在關(guān)于x的方程x²-2ax+

1

4

b²=0中，a，b分別是一個(gè)面積為12的等腰三角形的腰與底邊的長，且這個(gè)方程的兩根之差的絕對值為8．則這個(gè)三角形的內(nèi)切圓面積是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知：x₁+x₂=2a，x₁x₂=

1

4

b²，利用（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64可列方程4a²-b²=64；再根據(jù)a，b分別是一個(gè)面積為12的等腰三角形的腰與底邊的長，可得到S_△=

1

2

b×

1

2

×

4a2-b2

=12，與4a²-b²=64聯(lián)立方程即可解得b，a的值；再設(shè)內(nèi)切圓半徑為x，利用AD²+DF²=AF²=（AE-EF）²，列方程2²+x²=（4-x）²，解得半徑x，代入三角形的內(nèi)切圓面積公式即可求解．

解答：解：如圖，AB=AC=a，BC=b，AE⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，圓F是△ABC的內(nèi)切圓，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

b，AE=

AB2-BE2

=

1

2

4a2-b2

；
∵x₁+x₂=2a，x₁x₂=

1

4

b²，
又∵|x₁-x₂|=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，即4a²-b²=64；
∵a，b分別是一個(gè)面積為12的等腰三角形的腰與底邊的長，
∴S_△=

1

2

b×

1

2

×

4a2-b2

=12，
與4a²-b²=64聯(lián)立方程解得，b=6，a=5；
設(shè)內(nèi)切圓半徑為x，則
EF=DF=x，
∴BE=BD=3，AD=AB-BD=5-3=2，AD²+DF²=AF²=（AE-EF）²，
∴2²+x²=（4-x）²，
解得x=

3

2

；
∴三角形的內(nèi)切圓面積=π×（

3

2

）²=

9π

4

．

點(diǎn)評：主要考查：等腰三角形的三線合一，三角形內(nèi)切圓的意義，直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、根與系數(shù)的關(guān)系．此題難點(diǎn)在于利用根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理求a，b的值．學(xué)生丟分率較高．