Question

為推進(jìn)節(jié)能減排，深化“宜居重慶”的建設(shè)，我市某公司用480萬(wàn)元引進(jìn)“變頻調(diào)速技術(shù)”后，進(jìn)一步投入資金1520萬(wàn)元購(gòu)買配套設(shè)備，以提高用電效率達(dá)到節(jié)約用電的目的．已知該公司生產(chǎn)“草甘磷”產(chǎn)品的每件成本費(fèi)為40元，該產(chǎn)品的銷售單價(jià)定在100元到300元之間，當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬(wàn)件；當(dāng)銷售單價(jià)超過(guò)100元，但不超過(guò)200元時(shí)，每件新產(chǎn)品的銷售價(jià)格在100元的基礎(chǔ)上，每增加10元，相應(yīng)的年銷售量將減少0.8萬(wàn)件；當(dāng)銷售單價(jià)超過(guò)200元，但不超過(guò)300元時(shí)，每件新產(chǎn)品的銷售價(jià)格在200元的基礎(chǔ)上，每增加10元，相應(yīng)的年銷售量將減少1萬(wàn)件．設(shè)該公司生產(chǎn)該產(chǎn)品銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年獲利為w（萬(wàn)元）．（年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-節(jié)電投資）
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求該公司節(jié)電投資后，第一年生產(chǎn)該產(chǎn)品的年獲利w與x間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明第一年是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤(rùn)是多少？若虧損，最少虧損是多少？
（3）若該公司節(jié)電投資后，第二年把該產(chǎn)品的銷售單價(jià)定在超過(guò)100元，但不超過(guò)200元的范圍內(nèi)，且希望第二年的年盈利為1840萬(wàn)元，請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算估算出第二年此情況下該產(chǎn)品銷售單價(jià)的整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

解：（1）這個(gè)顯然是一個(gè)分段函數(shù)，
y=20-×0.8
=-0.08x+28，（100≤x＜200）
可見(jiàn)x=200元時(shí)，y=28-16=12（萬(wàn)件）
y=12-×1=-0.1x+32，（200≤x≤300）．

（2）投資成本為480+1520=2000萬(wàn)元
y=-0.08x+28，100≤x＜200，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.08x+28）-2000
=-0.08x²+31.2x-3120
=-0.08（x-195）²-78
可見(jiàn)第一年在100≤x＜200注定虧損，x=195時(shí)虧損最少，為78萬(wàn)元
200≤x≤300，y=-0.1x+32，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.1x+32）-2000
=-0.1x²+36x-3280
=-0.1（x-180）²-40
可見(jiàn)第一年在200≤x≤300注定虧損，x=200時(shí)虧損最少，為80萬(wàn)元
綜上可見(jiàn)，x=195時(shí)虧損最少，為78萬(wàn)元．

（3）根據(jù)第二年的盈利為1840萬(wàn)元，第二年：100≤x≤200時(shí)，
第二年盈利=xy-40y=-0.08（x-195）²+1922=1840，
整理得出：0.08（x-195）²=82，
（x-195）²=1025，
x-195=±5，
∴x₁=195+5≈195+5×6.40=227（不合題意舍去）；
x₂=195-5≈195-5×6.40=163元．
答：第二年此情況下該產(chǎn)品銷售單價(jià)為163元時(shí)，第二年的盈利為1840萬(wàn)元．
分析：（1）分段討論當(dāng)100＜x≤200和當(dāng)200＜x≤300的函數(shù)關(guān)系式，
（2）由年獲利=年銷售額-生產(chǎn)成本-節(jié)電投資分別列出當(dāng)100＜x≤200和200＜x≤300的利潤(rùn)關(guān)系式，求出最大利潤(rùn)，
（3）依題意可知，當(dāng)100＜x≤200時(shí)，寫(xiě)出第二年w與x關(guān)系為式，由第二年的盈利為1840萬(wàn)元，解得單價(jià)x．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用，最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數(shù)模型解答，其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值．