Question

如圖，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
（1）求證：在運(yùn)動(dòng)過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC；
（2）當(dāng)取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；
（3）在（2）的前提下，若

BD

DC

=

119

126

，S△AED=28cm2，求S_△BFD．

Answer 1

分析：（1）由角平分線的性質(zhì)可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面積轉(zhuǎn)化為底AE和CG的比值，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AE和CG的長度即可證明在運(yùn)動(dòng)過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
（2）若△DFE與△DMG全等，則EF=MG，利用已知條件求出EF和MG的長度，建立方程解方程即可求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）利用等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵S_△AED=

1

2

AE•DF，S_△DGC=

1

2

CG•DM，
∴

S△ADE

S△DGC

=

AE

CG

，
∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴AE=2tcm，CG=tcm，
∴

AE

CG

=2，
即

S△ADE

S△DGC

=2，
∴在運(yùn)動(dòng)過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．

（2）解：設(shè)時(shí)間為t時(shí)，△DFE與△DMG全等，則EF=MG，
①當(dāng)M在線段CG的延長線上時(shí)，
∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，
即10-2t=4-t，
解得：t=6，
當(dāng)t=6時(shí)，MG=-2，所以舍去；
②當(dāng)M在線段CG上時(shí)，
∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），
即10-2t=t-4，
解得：t=

14

3

，
綜上所述當(dāng)t=

14

3

時(shí)，△DFE與△DMG全等．

（3）∵t=

14

3

，
∴AE=2t=

28

3

（cm），
∵DF=DM，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，
∵AC=14cm，
∴AB=

119

9

（cm），
∴BF=AB-AF=

119

9

-10=

29

9

（cm），
∵S_△ADE：S_△BDF=AE：BF=

28

3

：

29

9

，S_△AED=28cm²，
∴S_△BDF=

29

3

（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式以及動(dòng)點(diǎn)問題，解題的難點(diǎn)在于第二問中求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，此題容易漏解和錯(cuò)解．