Question

（2002•西藏）已知，如圖AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，弦CD與AB交于點(diǎn)E．
（1）求證：△CBE∽△CDB；
（2）若AB=4，設(shè)CE的長為x，CD的長為y，寫出y與自變量x的函數(shù)關(guān)系式（不寫自變量x的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）由兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證明△CBE∽△CDB；
（2）由勾股定理可求出BC的長，由（1）中的結(jié)論即可得到y(tǒng)與自變量x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：（1）證明：∵半徑OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠D=45°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠OBC=∠D=45°，
∴∠DCB=∠BCE，
∴△CBE∽△CDB；

（2）∵∠COB=90°，AB=4，
∴OB=OC=4，
∴BC=

OB2+OC2

=4

2

，
∵△CBE∽△CDB，
∴

BC

CD

=

CE

BC

，
∵CE的長為x，CD的長為y，
∴

4 2

y

=

x

4 2

，
∴y=

32

x

．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及由相似三角形的性質(zhì)得到的比例式所引發(fā)的線段之間的函數(shù)關(guān)系．