Question

如圖：直線y=-x+6與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，Q是雙曲線y=

k

x

(k≠0)上的一點(diǎn)，若O、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)?jiān)趫D中找出所有符合條件的點(diǎn)Q，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和寫出相應(yīng)k的值．

Answer 1

分析：當(dāng)雙曲線y=

k

x

(k≠0)在一、三象限時(shí)，P、B兩點(diǎn)重合，Q點(diǎn)為正方形BOAQ的一個(gè)頂點(diǎn)，圖形符合題意；
當(dāng)雙曲線y=

k

x

(k≠0)在二、四象限時(shí)，作OQ∥AB，且OQ=OA=6，再作PQ∥OA交直線AB于P點(diǎn)，圖形符合題意．

解答：
解：令y=0得x=6，令x=0得y=6，可加A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（6，0），B（0，6）；此處利用到課本關(guān)于坐標(biāo)x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為零，y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為零；
∵P在AB上，
∴P在直線y=-x+6上，這樣可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x+6）；這種設(shè)未知數(shù)簡(jiǎn)便了運(yùn)算；
（1）根據(jù)OQAP為菱形，則|OP|=|AP|，（菱形四個(gè)邊相等的性質(zhì)）；
由兩點(diǎn)距離公式得：|OP|=

(x-0)2+(-x+6-0)2

=

2x2-12x+36

，
|AP|=

(x-6) 2+(-x+6-0) 2

=

2(x-6) 2

；
∴2x²-12x+36=2（x-6）²，
解得：x=3；
于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，3）；
設(shè)Q坐標(biāo)（xq，yq）又由于OA的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0）；PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

xq+3

2

，

yq+3

2

），
根據(jù)菱形的性質(zhì)OQ的中點(diǎn)即為PA的中點(diǎn)，
∴3=

xq+3

2

，0=

yq+3

2

，
解得：x_q=3，y_q=-3
∴此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（3，-3），k=3×（-3）=-9；

（2）同理，OAQP為菱形時(shí)，|OA|=|OP|

(6-0) 2+(0-0) 2

=

(x-0) 2+(-6+x-0) 2

，
解得：x=0或x=6；
P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）或（6，0）（當(dāng)P點(diǎn)為（6，0）與A點(diǎn)重合，無(wú)法組成菱形PAQP所以舍去）
此時(shí)：O（0，0）A（6，0）Q（xq，yq）P（0，6）
OQ中點(diǎn)即為AP中點(diǎn)有：x_q=6，y_q=6，
Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（6，6），k=6×6=36；

（3）同理，OAPQ為菱形時(shí)，|OP|=|AP|

(6-0) 2+(0-0) 2

=

(x-6) 2+(-x+6-0) 2

，
解得x=6+3

2

或x=6-3

2

；
P點(diǎn)坐標(biāo)為：（6+3

2

，-3

2

）或（6-3

2

，3

2

）
此時(shí)O（0，0），A（6，0），P（6+3

2

，-3

2

）或（6-3

2

，3

2

），Q（xq，yq）
OP中點(diǎn)即為AQ中點(diǎn)，可以求出：
Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（3

2

，-3

2

）或（-3

2

，3

2

），k=3

2

×（-3

2

）=（-3

2

）×3

2

=-18；

點(diǎn)評(píng)：理解菱形的四邊相等，對(duì)邊平行，是判斷本題的關(guān)鍵，需要根據(jù)雙曲線所在的象限分類解題，明確正方形屬于菱形的特殊情況．