Question

如圖①所示，已知A、B為直線l上兩點，點C為直線l上方一動點，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過點D作DD₁⊥l于點D₁，過點E作EE₁⊥l于點E₁

（1）如圖②，當點E恰好在直線l上時（此時E₁與E重合），試說明DD₁=AB；

（2）在圖①中，當D、E兩點都在直線l的上方時，試探求三條線段DD₁、EE₁、AB之間的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）如圖③，當點E在直線l的下方時，請直接寫出三條線段DD₁、EE₁、AB之間的數(shù)量關系．（不需要證明）

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵四邊形CADF、CBEG是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，

∴∠DAD₁+∠CAB=90°，

∵DD₁⊥AB，

∴∠DD₁A=∠ABC=90°，

∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，

∴∠ADD₁=∠CAB，

在△ADD₁和△CAB中，∠DD₁A=∠ABC  ∠ADD₁=∠CAB  AD=CA，

∴△ADD₁≌△CAB（AAS），

∴DD₁=AB；

（2）解：AB=DD₁+EE₁．

證明：過點C作CH⊥AB于H，

∵DD₁⊥AB，

∴∠DD₁A=∠CHA=90°，

∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，

∵四邊形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD₁+∠CAH=90°，

∴∠ADD₁=∠CAH，

在△ADD₁和△CAH中，∠DD₁A=∠CHA ∠ADD₁=∠CAH  AD=CA，

∴△ADD₁≌△CAH（AAS），

∴DD₁=AH；

同理：EE₁=BH，

∴AB=AH+BH=DD₁+EE₁；

（3）AB=DD₁-EE₁．

證明：過點C作CH⊥AB于H，

∵DD₁⊥AB，

∴∠DD₁A=∠CHA=90°，

∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，

∵四邊形CADF是正方形，

∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD₁+∠CAH=90°，

∴∠ADD₁=∠CAH，

在△ADD₁和△CAH中，∠DD₁A=∠CHA  ∠ADD₁=∠CAH  AD=CA，

∴△ADD₁≌△CAH（AAS），

∴DD₁=AH；

同理：EE₁=BH，

∴AB=AH-BH=DD₁-EE₁．

【解析】（1）由四邊形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠=∠CAB，然后利用AAS證得△≌△CAB，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得；

（2）首先過點C作CH⊥AB于H，由⊥AB，可得∠∠CHA=90°，由四邊形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠=∠CAH，然后利用AAS證得△≌△CAH，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得DD₁=AH，同理EE₁=BH，則可得．

（3）證明方法同（2），易得