Question

已知二次函數(shù)y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上，
（1）試判斷這個二次函數(shù)圖象的開口方向，并說明你的理由；
（2）求證：函數(shù)y=m²x²+2（n-1）x-1的圖象與x軸必有兩個不同的交點．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的頂點坐標(biāo)在x軸上，可以知函數(shù)頂點的縱坐標(biāo)為0，然后求出（n-1）的范圍，從而求解．
（2）已知函數(shù)的解析式為y=m²x²+2（n-1）x-1，根據(jù)判別式△與0的關(guān)系，來判斷函數(shù)與x軸交點的個數(shù)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上，
∴函數(shù)頂點的縱坐標(biāo)為0，
∴

4ac-b2

4a

=

4(n-1)-4m2

4(n-1)

=0，
∴4（n-1）-4m²=0，
∴（n-1）=m²≥0，
∴函數(shù)開口方向向上；

（2）∵函數(shù)頂點的縱坐標(biāo)為0，
∴4（n-1）=4m²，
∵△=（2n-2）²-4m²（-1）=4（n-1）²+4m²=4m⁴+4m²，
∴△＞0，
∴函數(shù)y=m²x²+2（n-1）x-1的圖象與x軸必有兩個不同的交點．

點評：（1）第一問主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)及頂點坐標(biāo)公式，函數(shù)開口的方向，比較簡單；
（2）第二問主要利用根的判別式來求解，要利用第一問的結(jié)論，計算要仔細(xì)．