Question

【題目】如圖，點P在正方形ABCD邊AD上，連接PB．過點B作一條射線與邊DC的延長線交于點Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是邊AB延長線上的點，連接PQ．若PQ2＝PB2+PD2+2，則△PAB的面積為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先由∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB與△QCB均為直角三角形，再證得△PAB≌△QCB，可知QC＝PA，設(shè)正方形的邊長AB＝a，PA＝x，利用方程思想和勾股定理，等量代換易得ax，可得結(jié)果.

∵∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC＝90°

∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝90°

∵∠PBC+∠PBA＝90°

∴∠PBA＝∠QBC

∴在△PAB和△QCB中

，

∴△PAB≌△QCB（ASA）

∴PB＝QB

設(shè)正方形ABCD的邊長AB＝a，PA＝x

∵△PAB≌△QCB

∴QC＝PA＝x

∴DQ＝DC+QC＝a+x，PD＝AD﹣PA＝a﹣x

在Rt△PAB中，

PB2＝PA2+AB2＝x2+a2

∵PQ2＝PB2+PD2+2

∴（a﹣x）2+（a+x）2＝x2+a2+（a﹣x）2+2

化簡得：2ax＝2

∴ax＝1

∴△PAB的面積

S＝PAAB＝ax＝

故答案為：．