Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)（AD＞BD），BC=AD，如果∠ACD=90°，那么tanA=

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)黃金分割的定義得出

AD

AB

=

5 -1

2

，AD²=AB•BD，再由兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似，可證△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例及已知條件BC=AD可得

CD

AC

=

BC

AB

=

AD

AB

，最后根據(jù)正切函數(shù)的定義得出結(jié)果．

解答：解：∵點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)（AD＞BD），
∴

AD

AB

=

5 -1

2

，AD²=AB•BD，
∵BC=AD，
∴BC²=AB•BD，
∴

BC

BD

=

AB

BC

，
又∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴

CD

AC

=

BC

AB

=

AD

AB

=

5 -1

2

．
在△ACD中，∠ACD=90°，
∴tanA=

CD

AC

=

5 -1

2

．
故答案為

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割、銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．本題證明△BCD∽△BAC，得出

CD

AC

=

AD

AB

是解題的關(guān)鍵．