【題目】已知,如圖,正方形ABCD的邊長為6,菱形EFGH的三個頂點E,G,H分別在正方形ABCDAB,CD,DA上,AH=2,連接CF.

(1)當(dāng)DG=2時,求FCG的面積;

(2)設(shè)DG=x,用含x的代數(shù)式表示FCG的面積;

(3)判斷FCG的面積能否等于1,并說明理由.

【答案】(1)4;(2)6-x;(3)見解析.

【解析】分析:(1)要求△FCG的面積,可以轉(zhuǎn)化到面積易求的三角形中,通過證明△DGH≌△CFG得出.(2)欲求△FCG的面積,由已知得CG的長易求,只需求出GC邊的高,通過證明△AHE≌△MFG可得;
(3) ,,x=5,此時,△DGFH,HG=.相應(yīng)地,△AHE,AE=>6,即點E已經(jīng)不在邊AB.故不可能有.

詳解:(1)∵正方形ABCD中,AH=2,

DH=4,

DG=2,

HG=2,即菱形EFGH的邊長為2

在△AHE和△DGH中,

∵∠A=D=90°,AH=DG=2,EH=HG=2,

∴△AHE≌△DGH(HL),

∴∠AHE=DGH,

∵∠DGH+∠DHG=90°,

∴∠DHG+∠AHE=90°,

∴∠GHE=90°,即菱形EFGH是正方形,

同理可以證明△DGH≌△CFG,

∴∠FCG=90°,即點FBC邊上,同時可得CF=2,

從而SFCG=×4×2=4.

(2)作FMDC,M為垂足,連接GE,

ABCD,

∴∠AEG=MGE,

HEGF,

∴∠HEG=FGE,

∴∠AEH=MGF.

在△AHE和△MFG中,

∴△AHE≌△MFG(AAS),

FM=HA=2,

即無論菱形EFGH如何變化,點F到直線CD的距離始終為定值2.

因此SFCG=×2×(6﹣x)=6﹣x.

(3)若SFCG=1,由(2)知SFCG=6﹣x,得x=5,

∴在△DGH中,HG=

∴在△AHE中,AE=,即點E已經(jīng)不在邊AB上.

∴不可能有SFCG=1.

另法:∵點G在邊DC上,

∴菱形的邊長至少為DH=4,

當(dāng)菱形的邊長為4時:

∵點EAB邊上且滿足AE=2,此時,當(dāng)點E逐漸向右運動至點B時,HE的長(即菱形的邊長)將逐漸變大,

∴最大值為HE=2

此時,DG=2,故0x2

∵函數(shù)SFCG=6﹣x的值隨著x的增大而減小,

∴當(dāng)x=2時,SFCG取得最小值為6﹣2

又∵6﹣2=1,

∴△FCG的面積不可能等于1.

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