Question

（2013•麗水）如圖1，點(diǎn)A是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），M是線段AB的中點(diǎn)，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為F，過點(diǎn)B作y軸的垂線與直線CF相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)AC，BC，CD，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求CF的長(zhǎng)；
（2）①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上；
     ②設(shè)△BCE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，將△CDF沿x軸左右平移得到△C′D′F′，再將A，B，C′，D′為頂點(diǎn)的四邊形沿C′F′剪開，得到兩個(gè)圖形，用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無(wú)縫隙的圖形恰好是三角形．請(qǐng)直接寫出所有符合上述條件的點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ACF∽R(shí)t△BAO，得CF=

1

2

OA=

1

2

t，由此求出CF的值；
（2）①由Rt△ACF∽R(shí)t△BAO，可以求得AF的長(zhǎng)度；若點(diǎn)C落在線段BD上，則有△DCF∽△DBO，根據(jù)相似比例式列方程求出t的值；
②有兩種情況，需要分類討論：當(dāng)0＜t≤8時(shí)，如題圖1所示；當(dāng)t＞8時(shí)，如答圖1所示．
（3）本問涉及圖形的剪拼．在△CDF沿x軸左右平移的過程中，符合條件的剪拼方法有三種，需要分類討論，分別如答圖2-4所示．

解答：解：（1）由題意，易證Rt△ACF∽R(shí)t△BAO，
∴

CF

OA

=

AC

AB

．
∵AB=2AM=2AC，
∴CF=

1

2

OA=

1

2

t．
當(dāng)t=2時(shí)，CF=1．

（2）①由（1）知，Rt△ACF∽R(shí)t△BAO，
∴

AF

OB

=

AC

AB

=

1

2

，
∴AF=

1

2

OB=2，∴FD=AF=2，．
∵點(diǎn)C落在線段BD上，∴△DCF∽△DBO，
∴

CF

OB

=

DF

OD

，即

1 2 t

4

=

2

t+4

，
解得t=2

5

-2或t=-2

5

-2（小于0，舍去）
∴當(dāng)t=2

5

-2時(shí)，點(diǎn)C落在線段BD上；
②當(dāng)0＜t≤8時(shí)，如題圖1所示：
S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（4-

1

2

t）=-

1

4

t²+

3

2

t+4；
當(dāng)t＞8時(shí)，如答圖1所示：

S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（

1

2

t-4）=

1

4

t²-

3

2

t-4．

（3）符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（12，4），（8，4）或（2，4）．
理由如下：
在△CDF沿x軸左右平移的過程中，符合條件的剪拼方法有三種：
方法一：如答圖2所示，當(dāng)F′C′=AF′時(shí)，點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（12，0），

根據(jù)△C′D′F′≌△AHF′，△BC′H為拼成的三角形，此時(shí)C′的坐標(biāo)為（12，4）；
方法二：如答圖3所示，當(dāng)點(diǎn)F′與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（8，0），

根據(jù)△OC′A≌△BAC′，可知△OC′D′為拼成的三角形，此時(shí)C′的坐標(biāo)為（8，4）；
方法三：當(dāng)BC′=F′D′時(shí)，點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（2，0），

根據(jù)△BC′H≌△D′F′H，可知△AF′C′為拼成的三角形，此時(shí)C′的坐標(biāo)為（2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)平面內(nèi)幾何圖形的多種性質(zhì)，是一道難度較大的中考?jí)狠S題．涉及到的知識(shí)點(diǎn)包括相似三角形、全等三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)、幾何變換（旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱）、圖形的剪拼、解方程等，非常全面；分類討論的思想貫穿第（2）②問和第（3）問，第（3）問還考查了幾何圖形的空間想象能力．本題涉及考點(diǎn)眾多，內(nèi)涵豐富，對(duì)考生的數(shù)學(xué)綜合能力要求較高．