【答案】
分析:(1)根據(jù)點A的坐標,易求得OA=5,若△AOB是等腰三角形,應分三種情況考慮:
①OA=OB=5,由于點B的位置不確定,因此要分B在x軸正、負半軸兩種情況求解,已知了OB的長,即可得到點B的坐標;
②OA=AB=5,此時點B只能在x軸負半軸上,那么點B的橫坐標應為點A橫坐標的2倍,可據(jù)此求得點B的坐標;
③AB=OB=5,此時點B只能在x軸負半軸上,可在x軸上截取AD=OA,通過構建相似三角形:△OBA∽△OAD,通過所得比例線段來求出OB的長,從而得到點B的坐標.
(2)任選一個(1)題所得的B點坐標,利用待定系數(shù)法求解即可.
(3)解此題時,雖然不同的拋物線有不同的解,但解法一致;分兩種情況:
①OA∥BP時,可分別過A、P作x軸的垂線,設垂足為C、E,易證得△AOC∽△PBE,根據(jù)所得比例線段,即可求得點P的坐標.而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來求出.
②OP∥AB時,方法同上,過P作PF⊥x軸于F,然后通過相似三角形:△ABC∽△POF,來求出P點坐標,梯形面積求法同上.(當OA=AB時,兩種情況的點P正好關于拋物線對稱軸對稱,可據(jù)此直接求出P點坐標,避免重復計算.)
解答:解:作AC⊥x軸,由已知得OC=4,AC=3,OA=
=5.
(1)當OA=OB=5時,
如果點B在x軸的負半軸上,如圖(1),點B的坐標為(-5,0);
如果點B在x軸的正半軸上,如圖(2),點B的坐標為(5,0);
當OA=AB時,點B在x軸的負半軸上,如圖(3),BC=OC,則OB=8,點B的坐標為(-8,0);
當AB=OB時,點B在x軸的負半軸上,如圖(4),在x軸上取點D,使AD=OA,可知OD=8.
由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,
則
,
解得OB=
,
點B的坐標為(-
,0).
(2)當AB=OA時,拋物線過O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三點,
設拋物線的函數(shù)表達式為y=ax
2+bx,
可得方程組
,
解得a=
,
,
∴
;
當OA=OB時,同理得
.
(3)當OA=AB時,若BP∥OA,如圖(5),作PE⊥x軸,
則∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,
△AOC∽△PBE,
.
設BE=4m,PE=3m,則點P的坐標為(4m-8,-3m),
代入
,
解得m=3;
則點P的坐標為(4,-9),
S
梯形ABPO=S
△ABO+S
△BPO=48.
若OP∥AB,根據(jù)拋物線的對稱性可得點P的坐標為(-12,-9),
S
梯形AOPB=S
△ABO+S
△BPO=48.
當OA=OB時,若BP∥OA,如圖(6),作PF⊥x軸,
則∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,
△AOC∽△PBF,
;
設BF=4m,PF=3m,則點P的坐標為(4m-5,-3m),
代入
,
解得m=
.則點P的坐標為(1,-
),
S
梯形ABPO=S
△ABO+S
△BPO=
.
若OP∥AB(圖略),作PF⊥x軸,
則∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,
△ABC∽△POF,
;
設點P的坐標為(-n,-3n),
代入
,
解得n=9.
則點P的坐標為(-9,-27),S
梯形AOPB=S
△ABO+S
△BPO=75.
點評:此題考查了等腰三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形面積的求法等知識.同時還考查了分類討論的數(shù)學思想,一定要考慮全面,避免漏解.