Question

【題目】某商家經(jīng)銷一種綠茶，用于裝修門面已投資3000元．已知綠茶每千克成本50元，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)銷量y（kg）隨銷售單價(jià)x（元/kg）的變化而變化，具體變化規(guī)律如表所示：

銷售單價(jià)x（元/kg）	…	70	75	80	85	90	…
月銷售量y（kg）	…	100	90	80	70	60	…

設(shè)該綠茶的月銷售利潤(rùn)為w（元）（銷售利潤(rùn)＝單價(jià)×銷售量﹣成本）

（1）請(qǐng)根據(jù)上表，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量x的取值范圍）；

（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量x的取值范圍），并求出x為何值時(shí)，w的值最大？

（3）若在第一個(gè)月里，按使w獲得最大值的銷售單價(jià)進(jìn)行銷售后，在第二個(gè)月里受物價(jià)部門干預(yù)，銷售單價(jià)不得高于80元，要想在全部收回裝修投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)至少達(dá)到1700元，那么第二個(gè)月時(shí)里應(yīng)該確定銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+240；（2）w＝﹣2x2+340x﹣12000，當(dāng)x＝85時(shí)，w最大＝2450；（3）當(dāng)銷售單價(jià)為75≤x≤80元時(shí)，在全部收回投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)不低于1700元．

【解析】

（1）設(shè)y=kx+b，待定系數(shù)法求解即可得；
（2）根據(jù)：“總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式，配方可得其最值情況；
（3）由（2）知，第二個(gè)月利潤(rùn)需達(dá)到1700+550即W=2250才能滿足題目條件，解方程可得x的值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得x的取值范圍．

（1）將（70，100），（75，90）代入上式，

得：

解得：，

則y＝﹣2x+240，

（2）w＝（x﹣50）y

＝（x﹣50）（﹣2x+240）

＝﹣2x2+340x﹣12000

＝﹣2（x﹣85）2+2450，

當(dāng)x＝85時(shí)，w最大＝2450；

（3）由（2）知，第1個(gè)月還有3000﹣2450＝550元的投資成本沒(méi)有收回．

則要想在全部收投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)達(dá)到1700元，

即w＝2250才可以，

可得方程：﹣2（x﹣85）2+2450＝2250

解得：x1＝75，x2＝95

根據(jù)題意x2＝95不合題意，應(yīng)舍去，

當(dāng)x＝80時(shí)，y＝2400，

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)x＜85時(shí)，w隨x的增大而增大，

當(dāng)w≥2250，且銷售單價(jià)不高于80時(shí)，75≤x≤80．

答：當(dāng)銷售單價(jià)為75≤x≤80元時(shí)，在全部收回投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)不低于1700元．