Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上一點，∠EAB=∠ADB.

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；

（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的條件下，求AE的長.

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、證明過程見解析；(3)、AE=4

【解析】

試題分析：(1)、連接CD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠BAC=∠EDC，然后結(jié)合已知條件得出∠EAB+∠BAC=90°，從而說明切線；(2)、連接BC，根據(jù)直徑的性質(zhì)得出∠ABC=90°，根據(jù)B是EF的中點得出AB=EF，即∠BAC=∠AFE，則得出三角形相似；(3)、根據(jù)三角形相似得出，根據(jù)AF和CF的長度得出AC的長度，然后根據(jù)EF=2AB代入求出AB和EF的長度，最后根據(jù)Rt△AEF的勾股定理求出AE的長度.

試題解析：(1)、如答圖1，連接CD， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°. ∴∠ADB+∠EDC=90°.

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB， ∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°. ∴EA是⊙O的切線.

(2)、如答圖2，連接BC， ∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°. ∴∠CBA=∠ABC=90°.

∵B是EF的中點，∴在Rt△EAF中，AB=BF. ∴∠BAC=∠AFE. ∴△EAF∽△CBA.

(3)、∵△EAF∽△CBA，∴. ∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB.

∴，解得AB=2.∴EF=4.

∴AE=.