Question

如圖，正方形ABCD中，點E是AD的中點，點P是AB上的動點，PE的延長線與CD的延長線交于點Q，過點E作EF⊥PQ交BC的延長線于點F．給出下列結論：
①△APE≌△DQE；
②點P在AB上總存在某個位置，使得△PQF為等邊三角形；
③若tan∠AEP=，則．
其中正確的是（ ）

A．①
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：①由四邊形ABCD是正方形可以得出∠A=∠ADC=90°，可以求出∠ADQ=90°，得到∠A=∠ADQ，由點E是中點可以得到AE=DE，再有對頂角相等就可以得出△APE≌△DQE；
②作EG⊥CD于G，EM⊥BC于M易證Rt△EFM≌Rt△PQG，根據(jù)全等三角形的性質推出EF=MG，即可判斷②；
③由tan∠AEP=可以得出=，設AP=2a，AE=3a，由（1）得ED=3a，進而可以得出DR=4.5a，CR=1.5a，CF=a，根據(jù)三角形的面積公式分別表示出S_△APE，S_△PBF就可以得出結論．
解答：解：①∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=QD，∠A=∠B=90°，
∵E為AD中點，
∴AE=ED．
在△AEP和△DFQ中
∵，
∴△AEP≌△DFQ，故①正確；
②作EG⊥CD于G，EM⊥BC于M，
∴∠PGQ=∠EMF=90°．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，
即∠PEH+∠HEF=90°，
∵∠HPE+∠HEP=90°，
∴∠HPE=∠HEF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴PG=EM．
在△EFM和△PQG中
∵，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF=PQ，
∴在Rt△PEF中，PF＞EF，
∴PF＞PQ，
∴△PQF不能為等邊三角形，故②錯誤；
③∵△AEP≌△DFQ，
∴AE=ED，
∵tan∠AEP==，設AP=2a，AE=3a，
∴ED=3a．
∴AD=6a．
∵∠AEP+∠DEF=90°，∠DEF+∠DRE=90°，
∴tan∠DRE==，
∴DR=4.5a，
∴CR=1.5a．
∵∠CRF=∠DRE，
∴tan∠ERF==，
∴CF=a．
∴BF=7a，BP=4a，
∴S_△APE=（2a.3a）=3a，S_△PBF=（4a.7a）=14a，
∴，故③正確．
故選B．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質的運用，銳角三角函數(shù)的定義的運用，三角形面積公式的運用．