Question

經過原點和G（4，0）的兩條拋物線y₁=a₁x²+b₁x，y₂=a₂x²+b₂x，頂點分別為A，B，且都在第1象限，連接BA交x軸于T，且BA=AT=3．
（1）分別求出拋物線y₁和y₂的解析式；
（2）點C是拋物線y₂的x軸上方的一動點，作CE⊥x軸于E，交拋物線y₁于D，試判斷CD和DE的數量關系，并說明理由；
（3）直線x=m，交拋物線y₁于M，交拋物線y₂于N，是否存在以點M，N，B，T為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵BA=AT=3，
∴A（2，3），B（2，6）．
∵y₁=a₁x²+b₁x過A（2，3）和G（4，0）．
依題意得：
解得
∴．
同理．

（2）CD=ED．
證明；設OE=t，0＜t＜4．
∵D在．上，
∴DE=．
∵C在上，
∴CE=．
∴CD=CE-DE=（）-（）=．
∴CD=DE．

（3）由于MN∥BT，當假設存在四邊形BTNM為平行四邊形時，則BT=MN=6．
∵
∴MN=．
依題意，得：.=-6，此方程無解，=6，
解之得：∴．
∴存在使得以點M，N，B，T為頂點的四邊形是平行四邊形．
分析：（1）結合圖形和已知，可得出A和B點的坐標，又已知G點的坐標，分別代入解析式中，即可得出兩函數式的解析式；
（2）根據題意，可分別用含t的表達式將CD和CE表示出，即可得出CD和DE之間的關系．
（3）假設存在四邊形BTNM為平行四邊形時，分別表示出M和N的坐標，并寫出MN的長度，解方程即可得出m的值．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．