Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=x﹣5上．

（1）求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C、D（C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)），試判斷△ABD的形狀；
（3）在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=﹣ =1，且頂點(diǎn)A在y=x﹣5上，

∴當(dāng)x=1時，y=1﹣5=﹣4，

∴A（1，﹣4）

（2）

解：方法一：

△ABD是直角三角形．

將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，

∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）

當(dāng)y=0時，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3

∴C（﹣1，0），D（3，0），

BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，

BD2+AB2=AD2，

∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．

方法二：

把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=﹣3，

∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），

∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），

KBD= =1，KAB= =﹣1，

∴KBDKAB=﹣1，

∴AB⊥BD，即△ABD為直角三角形

（3）

解：存在．

由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點(diǎn)E（0，﹣5），交x軸于點(diǎn)F（5，0）

∴OE=OF=5，

又∵OB=OD=3

∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形

∴BD∥l，即PA∥BD

則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，

過點(diǎn)P作y軸的垂線，過點(diǎn)A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點(diǎn)G．

設(shè)P（x1，x1﹣5），則G（1，x1﹣5）

則PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

PA=BD=3

由勾股定理得：

（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4

∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），

存在點(diǎn)P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】方法一：（1）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入直線l的解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．（2）由A點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀．（3）若以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分①AB為對角線、②AD為對角線兩種情況討論，即①AD PB、②AB PD，然后結(jié)合勾股定理以及邊長的等量關(guān)系列方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
方法二：（1）略．（2）分別求出直線AB與直線BD的斜率，并證明兩直線斜率的乘積等于﹣1，從而證明△ABD為直角三角形．（3）先證明直線BD平行AP，則只需PA=BD時，采用坐標(biāo)平移法，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．4利用梯形面積公式可求解．