Question

已知拋物線y=a（x+1）²+c與x軸交于點(diǎn)A（-3，0），
（1）直接寫(xiě)出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線過(guò)拋物線頂點(diǎn)M及拋物線與y軸的交點(diǎn)C（0，3）．
①求直線MC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
②若直線MC與x軸的交點(diǎn)為N，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△NPC是以NC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知拋物線的解析式，可得到拋物線的對(duì)稱軸方程，從而根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得拋物線的解析式和它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
①已經(jīng)求得M、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；
②假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，分兩種情況考慮：
1）以N為直角頂點(diǎn)，即PN為另一條直角邊；
易求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)C、N點(diǎn)的坐標(biāo)可知∠CNO=45°，若∠PNC=90°，可在y軸截取OD=ON，易得點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求出直線DN的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
2）以C為直角頂點(diǎn)，即PC為另一條直角邊；
根據(jù)A、C的縱坐標(biāo)知：∠CAN=45°，此時(shí)∠ACN=90°，那么點(diǎn)A即為所求的P點(diǎn)；
綜合上述兩種情況，即可得到符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知，拋物線的對(duì)稱軸為：x=-1，
已知A（-3，0），
故B（1，0）．

（2）①∵點(diǎn)B（1，0），C（0，3）在拋物線上，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3）；
∴

a+c=3 4a+c=0

，
解得

a=-1 c=4

，
∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-（x+1）²+4；
∴M（-1，4）設(shè)直線MC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
∴

-k+b=4 b=3

，
解得

k=-1 b=3

，
∴直線MC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3；
②假設(shè)在拋物線上存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使得△NPC是以NC為直角邊的直角三角形．
1）若PN為△NPC的另一條直角邊，如圖1；
易得直線MC與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N（3，0），
∵OC=ON，
∴∠CNO=45°，
在y軸上取點(diǎn)D（0，-3），連接ND交拋物線于點(diǎn)P，
∵ON=OD，
∴∠DNO=45°，
∴∠PNC=90°．
設(shè)直線ND的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n；
可得

3m+n=0 n=-3

，
解得

m=1 n=-3

∴直線ND的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3；
設(shè)點(diǎn)P（x，x-3），并將它代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式，得x-3=-（x+1）²+4，
即x²+3x-6=0，
解得x1=

-3+ 33

2

，x2=

-3- 33

2

，
∴y1=

-9+ 33

2

，y2=

-9- 33

2

；
∴滿足條件的點(diǎn)為P1(

-3+ 33

2

，

-9+ 33

2

），P2(

-3+ 33

2

，

-9- 33

2

）．

2）若PC是另一條直角邊，如圖2；
∵點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）；
連接AC；
∵OA=OC，
∴∠OCA=45°，
又∵∠OCN=45°，
∴∠ACN=90°，
∴點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)P₃（-3，0）；
第二種解法：求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3；
設(shè)點(diǎn)P（x，x+3），代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式，
得x+3=-（x+1）²+4，
即x²+3x=0；
解得x₁=-3，x₂=0；
∴y₁=0，y₂=3，
∴點(diǎn)P₃（-3，0），P₄（0，3）（舍去）．]
綜上可知，在拋物線上存在滿足條件的點(diǎn)有3個(gè)，分別P1(

-3+ 33

2

，

-9+ 33

2

），P2(

-3+ 33

2

，

-9- 33

2

），P₃（-3，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)的對(duì)稱性、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，需注意的是（2）②中，C、N都有可能是直角頂點(diǎn)，需要分類討論，以免漏解．