(2012•瀘州)如圖,二次函數(shù)y=-
1
2
x2+mx+m+
1
2
的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)D在第一象限.過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn),垂足為H.
(1)當(dāng)m=
3
2
時(shí),求tan∠ADH的值;
(2)當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí),求m的變化范圍;
(3)設(shè)△BCD和△ABC的面積分別為S1、S2,且滿(mǎn)足S1=S2,求點(diǎn)D到直線(xiàn)BC的距離.
分析:(1)先將m=
3
2
代入y=-
1
2
x2+mx+m+
1
2
,運(yùn)用配方法改寫(xiě)成頂點(diǎn)式,求出頂點(diǎn)D,與x軸的交點(diǎn)A與B的坐標(biāo),得到DH,AH的長(zhǎng)度,再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出tan∠ADH的值;
(2)先將y=-
1
2
x2+mx+m+
1
2
運(yùn)用配方法改寫(xiě)成頂點(diǎn)式,求出頂點(diǎn)D,與x軸的交點(diǎn)A與B的坐標(biāo),得到DH,AH的長(zhǎng)度,再由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí),30°≤∠ADH≤45°,然后根據(jù)30°,45°角的正切函數(shù)值及銳角三角函數(shù)的增減性即可求出m的變化范圍;
(3)設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式,則可用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo),再根據(jù)S△DBC=S△ABC求出m的值,從而得出A(-1,0),B(5,0),C(0,
5
2
),S△ABC=
1
2
×6×
5
2
=
15
2
.設(shè)點(diǎn)D到直線(xiàn)BC的距離為d,根據(jù)S△DBC=
1
2
BC•d=
15
2
,即可求出d的值.
解答:解:(1)∵當(dāng)m=
3
2
時(shí),y=-
1
2
x2+
3
2
x+2=-
1
2
(x-
3
2
2+
25
8
,
∴頂點(diǎn)D(
3
2
,
25
8
),與x軸的交點(diǎn)A(-1,0),B(4,0),
∴DH=
25
8
,AH=
3
2
-(-1)=
5
2
,
∴tan∠ADH=
AH
DH
=
5
2
25
8
=
4
5


(2)y=-
1
2
x2+mx+m+
1
2
=-
1
2
(x-m)2+
(m+1)2
2
,
∴頂點(diǎn)D(m,
(m+1)2
2
),
令y=-
1
2
x2+mx+m+
1
2
=0,解得:x=-1或2m+1
則與x軸的交點(diǎn)A(-1,0),B(2m+1,0),
∴DH=
(m+1)2
2
,AH=m-(-1)=m+1,
∴tan∠ADH=
m+1
(m+1)2
2
=
2
m+1

當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí),由對(duì)稱(chēng)性得30°≤∠ADH≤45°,
∴當(dāng)∠ADH=30°時(shí),
2
m+1
=
3
3
,
∴m=2
3
-1,
當(dāng)∠ADH=45°時(shí),
2
m+1
=1,
∴m=1,
∴1≤m≤2
3
-1;

(3)設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.
設(shè)過(guò)點(diǎn)B(2m+1,0),C(0,m+
1
2
)的直線(xiàn)解析式為;y=kx+b,
(2m+1)k+b=0
b=m+
1
2
,
解得
k=-
1
2
b=m+
1
2
,
即y=-
1
2
x+m+
1
2

當(dāng)x=m時(shí),y=-
1
2
m+m+
1
2
=
m+1
2
,
∴M(m,
m+1
2
).
∴DM=
(m+1)2
2
-
m+1
2
=
m(m+1)
2
,AB=(2m+1)-(-1)=2m+2,
又,∵S△DBC=S△ABC,
m(m+1)
2
•(2m+1)=(2m+2)•(m+
1
2
),
又∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D在第一象限,
∴m>0,解得m=2.
當(dāng)m=2時(shí),A(-1,0),B(5,0),C(0,
5
2
),
∴BC=
52+(
5
2
)
2
=
5
5
2
,
∴S△ABC=
1
2
×6×
5
2
=
15
2

設(shè)點(diǎn)D到直線(xiàn)BC的距離為d.
∵S△DBC=
1
2
BC•d,
1
2
×
5
5
2
•d=
15
2

∴d=
6
5
5

答:點(diǎn)D到直線(xiàn)BC的距離為
6
5
5
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,正切函數(shù)的定義,三角形的面積以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的求法,綜合性較強(qiáng),有一定難度.其中(3)正確表示S△DBC=
1
2
DM•OB,從而根據(jù)S△DBC=S△ABC求出m的值是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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k
x
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1
4(2n-1)
1
4(2n-1)
.(用含n的式子表示) 

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AB
AD
=k,下列結(jié)論:(1)△ABE∽△ECF,(2)AE平分∠BAF,(3)當(dāng)k=1時(shí),△ABE∽△ADF,其中結(jié)論正確的是(  )

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