Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數(shù)y=kx﹣4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)點P的坐標(biāo)為（﹣4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；

（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當(dāng)點M，N中有一點到達(dá)Q點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．連接AN，當(dāng)△AMN的面積最大時，

①求t的值；

②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不能，請說明你的理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（﹣1，0），

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+3）（x+1）。

∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點C（0，3），∴3=a×3×1，解得a=1。

∴二次函數(shù)的解析式為：y=（x+3）（x+1），即y =x²+4x+3。

     （2）證明：在二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x²+4x+3中，當(dāng)x=﹣4時，y=3，∴P（﹣4，3）。

∵P（﹣4，3），C（0，3），∴PC=4，PC∥x軸。

∵一次函數(shù)y=kx﹣4k（k≠0）的圖象交x軸于點Q，當(dāng)y=0時，x=4，∴Q（4，0），OQ=4。

∴PC=OQ。

又∵PC∥x軸，∴四邊形POQC是平行四邊形。

∴∠OPC=∠AQC。

（3）①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．

如答圖1所示，過點N作ND⊥x軸于點D，則ND∥OC，

∴△QND∽△QCO。

∴，即，

解得：。

設(shè)S=S_△AMN，則：

。

又∵AQ=7，點M的速度是每秒3個單位長度，

∴點M到達(dá)終點的時間為t=，

∴（0＜t≤）。

∵＜0，＜，且x＜時，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)t=時，△AMN的面積最大。

②假設(shè)直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC。

由QM=QN，得：7﹣3t=5﹣t，解得t=1。

此時點M與點O重合，如答圖2所示，

設(shè)PQ與OC交于點E，由（2）可知，四邊形POQC是平行四邊形，

∴OE=CE。

∵點E到CQ的距離小于CE，

∴點E到CQ的距離小于OE。

而OE⊥x軸，

∴PQ不是∠AQC的平分線，這與假設(shè)矛盾。

∴直線PQ不能垂直平分線段MN

【解析】

試題分析：（1）利用交點式求出拋物線的解析式。

（2）證明四邊形POQC是平行四邊形，則結(jié)論得證。

（3）①求出△AMN面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出△AMN面積最大時t的值。

②由于直線PQ上的點到∠AQC兩邊的距離不相等，則直線PQ不能平分∠AQC，所以直線PQ不能垂直平分線段MN。