Question

（2013•紹興模擬）如圖，△ABC紙片中，AB=BC＞AC，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．則下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)有（ ）
①△BDF是等腰直角三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位線；④BF+CE=DF+DE．

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意可知△DFE是△DAE對(duì)折的圖形，所以全等，故AD=DF，而AD=BD，所以BD=DF，但是∠B不一定等于45°，所以△BDF不一定是等腰直角三角形，①不成立；結(jié)合①中的結(jié)論，BD=DF，而∠ADE=∠FDE，∠ADF=∠DBF+∠DFB，可證∠BFD=∠EDF，故DE∥BC，即DE是△ABC的中位線，③成立；若③成立，利用△ADE≌△FDE，DE∥BC，∠AEF=∠EFC+∠ECF，可證∠DFE=∠CFE，②成立；根據(jù)折疊以及中位線定理得右邊=AB，要和左邊相等，則需CE=CF，則△CEF應(yīng)是等邊三角形，顯然不一定，故④不成立．
解答：解：①根據(jù)折疊知AD=DF，所以BD=DF，即一定是等腰三角形．因?yàn)椤螧不一定等于45°，所以①錯(cuò)誤；
②連接AF，交DE于G，根據(jù)折疊知DE垂直平分AF，又點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，在△ABF中，根據(jù)三角形的中位線定理，得DG∥BF．進(jìn)一步得E是AC的中點(diǎn)．由折疊知AE=EF，則EF=EC，得∠C=∠CFE．又∠DFE=∠A=∠C，所以∠DFE=∠CFE，正確；
③在②中已證明正確；
④根據(jù)折疊以及中位線定理得右邊=AB，要和左邊相等，則需CE=CF，則△CEF應(yīng)是等邊三角形，顯然不一定，錯(cuò)誤．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合翻折變換，考查了三角形中位線定理，正確利用折疊所得對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．