Question

二次函數(shù)y=

2

3

x²的圖象如圖所示，點(diǎn)A₀位于坐標(biāo)原點(diǎn)，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y軸的正半軸上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈在二次函數(shù)y=

2

3

x²第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈都為等邊三角形，請(qǐng)計(jì)算△A₀B₁A₁的邊長(zhǎng)=

 

；△A₁B₂A₂的邊長(zhǎng)=

 

；△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長(zhǎng)=

 

．

Answer 1

分析：先計(jì)算出△A₀B₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的邊長(zhǎng)，推理出各邊長(zhǎng)組成的數(shù)列各項(xiàng)之間的排列規(guī)律，依據(jù)規(guī)律得到△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長(zhǎng)．

解答：解：作B₁A⊥y軸于A，B₂B⊥y軸于B，B₃C⊥y軸于C．
設(shè)等邊△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等邊△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°=

3

a，代入解析式得

2

3

×（

3

a）²=a，解得a=0（舍去）或a=

1

2

，于是等邊△A₀B₁A₁的邊長(zhǎng)為

1

2

×2=1；
②等邊△A₂B₂A₁中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=

3

b，B₂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

b，1+b）代入解析式得

2

3

×（

3

b）²=1+b，
解得b=-

1

2

（舍去）或b=1，
于是等邊△A₂B₁A₁的邊長(zhǎng)為1×2=2；
③等邊△A₂B₃A₃中，A₂C=c，
所以CB₃=btan60°=

3

c，B₃點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

c，3+c）代入解析式得

2

3

×（

3

c）²=3+c，
解得c=-1（舍去）或c=

3

2

，
于是等邊△A₃B₃A₂的邊長(zhǎng)為

3

2

×2=3．
于是△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長(zhǎng)為2008．

點(diǎn)評(píng)：此題將二次函數(shù)和等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合在一起，是一道開放題，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的探索發(fā)現(xiàn)意識(shí)．