Question

【題目】小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果： sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°≈（ ）2+（ ）2=1．
據(jù)此，小明猜想：對于任意銳角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）當(dāng)α=30°時，驗證sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個反例．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)α=30°時， sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（ ）2+（ ）2
= +
=1；
（Ⅱ）小明的猜想成立，證明如下：
如圖，在△ABC中，∠C=90°，

設(shè)∠A=α，則∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（ ）2+（ ）2
=
=
=1．
【解析】（1）將α=30°代入，根據(jù)三角函數(shù)值計算可得；（2）設(shè)∠A=α，則∠B=90°﹣α，根據(jù)正弦函數(shù)的定義及勾股定理即可驗證．
【考點精析】本題主要考查了互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)值的相關(guān)知識點，需要掌握互余關(guān)系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)；分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”才能正確解答此題．