Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）由平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)證明三角形全等，然后由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形完成證明；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況：①BD=BC，②BD=CD，③BC=CD，分別求四邊形的面積．

試題解析：（1）∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC與△FED中，∵∠CBE=∠DFE，∠BEC=∠FED，CE=DE，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE=DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）①BC=BD=3時(shí)，由勾股定理得，AB===，所以，四邊形BDFC的面積==；

②BC=CD=3時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四邊形BDFC的面積==；

③BD=CD時(shí)，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時(shí)不成立；

綜上所述，四邊形BDFC的面積是或．