Question

（2012•大港區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AC的中點．把線段AM進行以A為旋轉(zhuǎn)中心、向順時針方向旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換得到AB．過B作x軸的垂線、過C作y軸的垂線，兩直線交于D，直線DB交x軸于一點E．
（1）求證：△AOC∽△BEA；
（2）如果點A的橫坐標(biāo)為t，△BCD的面積為S，當(dāng)t為何值時，S=6.25？
（3）如果以B、C、D為頂點的三角形與△AOC相似，求此時點A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：∠CAB=90°，∠COA=∠BEA=90°，又由同角的余角相等，即可求得∠BAE=∠OCA，然后根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可判定△AOC∽△BEA；
（2）由△AOC∽△BEA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AE與BE的長，繼而求得S與t的關(guān)系，又由S=6.25，即可求得t的值；
（3）由∠BDC=∠AOC=90°，可分別從當(dāng)

CD

OC

=

DB

OA

，即

t+2

4

=

4- 1 2 t

t

時，△BDC∽△AOC與當(dāng)

BD

OC

=

CD

OA

，即

4- 1 2 t

4

=

t+2

t

時，△BDC∽△COA去分析求解即可求得答案．

解答：（1）證明：∵由題意得：∠CAB=90°，
∴∠OAC+∠BAE=90°，
又∵OC⊥OA，
∴∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠BAE=∠OCA，
又∵∠COA=∠BEA=90°，
∴△OCA∽△EAB；

（2）∵△OCA∽△EAB，
∴

OC

AE

=

OA

BE

=

AC

AB

=

2

1

，
∴

4

AE

=

t

BE

=

2

1

，
∴AE=2，BE=

1

2

t，
∴CD=OE=OA+AE=t+2，DE=OC-BE=4-

1

2

t，
∴S=

1

2

CD•BD=

1

2

（t+2）（4-

1

2

t）=-

1

4

t²+

3

2

t+4，
∴S=-

1

4

t²+

3

2

t+4=6.25，
二次項系數(shù)化1，得：t²-6t+9=0，
解得：t₁=t₂=3，
∴當(dāng)t=3時，S=6.25；

（3）∵∠BDC=∠AOC=90°，
∴當(dāng)

CD

OC

=

DB

OA

，即 

t+2

4

=

4- 1 2 t

t

時，△BDC∽△AOC，
解得：t₁=2

5

-2，t₂=-2

5

-2（舍去）；
當(dāng) 

BD

OC

=

CD

OA

，即 

4- 1 2 t

4

=

t+2

t

時，△BDC∽△COA，
整理，得：t²=-16（無實根）；
故A點的坐標(biāo)為（2

5

-2，0）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．