【題目】在數(shù)學(xué)研究課上,老師出示如圖1所示的長方形紙條,,,然后在紙條上任意畫一條截線段,將紙片沿折疊,交于點,得到,如圖2所示:

(1),求的大小;

(2)改變折痕位置,判斷的形狀,并說明理由;

(3)愛動腦筋的小明在研究的面積時,發(fā)現(xiàn)邊上的高始終是個不變的值.根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),他很快研究出的面積最小值為,求的大小;

(4)小明繼續(xù)動手操作,發(fā)現(xiàn)了面積的最大值,請你求出這個最大值.

【答案】(1)∠MKN=40°;(2)等腰三角形;(3)45°135°;(4)△MNK的面積最大值為1.3.

【解析】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出∠KNM,∠KMN的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解;

(2)利用翻折變換的性質(zhì)以及兩直線平行內(nèi)錯角相等得出KM=KN;

(3)利用當(dāng)△KMN的面積最小值為時,KN=BC=1,故KN⊥B′M,得出∠1=∠NMB=45°,同理當(dāng)將紙條向下折疊時,∠1=∠NMB=135°;

(4)分情況一:將矩形紙片對折,使點B與D重合,此時點K也與D重合;情況二:將矩形紙片沿對角線AC對折,此時折痕即為AC兩種情況討論求解.

1)如圖1,

四邊形ABCD是長方形

∴AM∥DN,

∴∠KNM=∠1,

∵∠1=70°,

∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°,

∴∠MKN=40°;

(2)等腰三角形,理由如下

∵AM∥BN,∴∠1=∠MND,

將紙片沿MN折疊,∴∠1=∠KMN,∠MND=∠KMN,

∴KM=KN,

的形狀是等腰三角形;

(3)如圖2,當(dāng)△KMN的面積最小值為時,KN=BC=1,故KN⊥B′M,

∵∠NMB=∠KMN,∠KMB=90°,

∴∠1=∠NMB=45°,

同理當(dāng)將紙條向下折疊時,∠1=∠NMB=135°,

所以∠1的度數(shù)為45°135°;

(4)分兩種情況:

情況一:如圖3,將矩形紙片對折,使點BD重合,此時點K也與D重合

MK=MB=x,則AM=5﹣x,

由勾股定理得12+(5﹣x)2=x2,

解得x=2.6,

∴MD=ND=2.6,

S△MNK=S△MND=×1×2.6=1.3;

情況二:如圖4,將矩形紙片沿對角線AC對折,此時折痕即為AC,

MK=AK=CK=x,則DK=5﹣x,

同理可得MK=NK=2.6,

∵M(jìn)D=1,

∴S△MNK=×1×2.6=1.3,

所以△MNK的面積最大值為1.3.

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