Question

【題目】如圖①，在等邊三角形ABC中．D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊三角形EDC．連接AE.

（1）求證：△DBC≌△EAC
（2）試說明AE∥BC的理由．
（3）如圖②，當圖①中動點D運動到邊BA的延長線上時，所作仍為等邊三角形，猜想是否仍有AE∥BC?若成立請證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=60 ， ∠DCE=60 ，
∴∠BCD=60 -∠ACD， ∠ACE=60 -∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
，
∴△DBC≌△EAC(SAS)
（2）解：∵△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60 ，
又∵∠ACB=60 ，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC
（3）解：仍有AE∥BC，
∵△ABC，△EDC都為等邊三角形，
∴BC=AC， DC=CE， ∠BCA=∠DCE=60 ，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
，
∴△DBC和△EAC(SAS)，
∴∠EAC=∠B=60 ，
又∵∠ACB=60 ，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC.
【解析】（1）根據已知條件△ABC和△EDC都是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，得出邊和角等于相等，再證明∠BCD=∠ACE，然后利用SAS證明△DBC≌△EAC即可。
（2）根據△DBC≌△EAC得出∠EAC=∠B=60 ° ，再利用等量代換證明∠EAC=∠ACB，然后根據平行線的判定即可證得結論。
（3）仍有AE∥BC，根據△ABC，△EDC都為等邊三角形，得出BC=AC， DC=CE， ∠BCA=∠DCE，再證明∠BCD=∠ACE，就可證明△DBC和△EAC，然后再證明∠EAC=∠ACB，即可證得AE∥BC。