Question

已知∠AOB=30°，點P在∠AOB的內(nèi)部，OP=6，P₁與P關(guān)于OB對稱，P₂與P關(guān)于OA對稱，則△P₁OP₂的周長為

18

；若OA上有一動點M，OB上有一動點N，則△PMN的最小周長為

6

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定求解；
（2）設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當點M、N在CD上時，△PMN的周長最小．

解答：解：（1）∵P為∠AOB內(nèi)部一點，點P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為P₁、P₂，
∴OP=OP₁=OP₂=6，且∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，
∴故△OP₁P₂是等邊三角形．
∴△P₁OP₂的周長=3×6=18；
（2）分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．
∵點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點P關(guān)于OB的對稱點為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=6．
∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6．
故答案為：18；6．

點評：此題考查了軸對稱的性質(zhì)，同時考查軸對稱--最短路線問題，并綜合運用了等邊三角形的知識．注意掌握對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等．