Question

如圖，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分線于M，交AB、AC于F、E，下列結論：
①MB⊥BD；②FD=EC；③EC=EF+DG；④CE=

1

2

MD．
其中正確的有

①②④

（填序號）．

Answer 1

分析：由BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分線于M，易求得∠MBD=90°，即可證得MB⊥BD；由等腰三角形的判定，易得△BDF與△BMF是等腰三角形，△AEF是等腰三角形，繼而可得FM=DF=BF=EC；由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半，即可證得CE=

1

2

MD．

解答：解：①∵BD平分∠ABC，BM是∠ABC的外角平分線，
∴∠MBF=∠MBH=

1

2

∠ABH，∠ABD=∠CBD=

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2

∠ABC，
∴∠MBD=∠MBF+∠ABD=

1

2

（∠ABH+∠ABC）=

1

2

×180°=90°，
∴MB⊥BD；正確；
②∵DM∥BC，
∴∠MBH=∠M，∠D=∠CBD，
∴∠M=∠MBF，∠D=∠ABD，
∴BF=FM=FD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵DM∥BC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴BF=CE，
∴FD=EC；正確；
③∵∠C與∠BGC的大小不確定，
∴DE不一定等于DG，
∵EC=DF=EF+DE，
∴EC不一定等于EF+DG；故錯誤；
④∵∠DBM=90°，F(xiàn)M=DF，
∴BF=

1

2

MD，
∴CE=

1

2

MD；故正確．
故答案為：①②④．

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及平行線的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．