Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=

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．點(diǎn)M從點(diǎn)B開(kāi)始，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)D開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)M，N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M與點(diǎn)C不重合，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．過(guò)點(diǎn)N作NP垂直于BC，交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，連接MQ．
（1）用含t的代數(shù)式表示QP的長(zhǎng)；
（2）設(shè)△CMQ的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求出t為何值時(shí)，△CMQ為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，在△ABE中，由等腰梯形性質(zhì)得BE=1，由勾股定理得AE=2，可推CE=3，ND=x，PC=1+x，由AE∥PQ得比例，表示線段PQ；
（2）由已知可得BM=2t，CM=4-2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面積了；
（3）△CMQ為等腰三角形，有三種可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，針對(duì)每一種情況，根據(jù)圖形特征，線段長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理解答．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，如圖，
由AD=2，BC=4，AB=CD=

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，得
AE=2．（1分）
∵ND=t，∴PC=1+t．
∴

PQ

AE

=

PC

EC

．即

PQ

2

=

1+t

3

．
∴PQ=

2+2t

3

．（2分）

（2）∵點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)，
∴BM=2t，CM=4-2t．（3分）
∴S_△CMQ=

1

2

CM•PQ=

1

2

•(4-2t)•

2+2t

3

=-

2

3

t2+

2

3

t+

4

3

．
即S=-

2

3

t2+

2

3

t+

4

3

．（4分）

（3）①若QM=QC，
∵QP⊥MC，
∴MP=CP．而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，∴t=

1

2

．（5分）
②若CQ=CM，
∵CQ²=CP²+PQ²=(1+t)2+(

2+2t

3

)2=

13

9

(1+t)2，
∴CQ=

13

3

(1+t)．
∵CM=4-2t，
∴

13

3

(1+t)=4-2t．
∴t=

85-18 13

23

．（6分）
③若MQ=MC，
∵M(jìn)Q²=MP²+PQ²=(3-3t)2+(

2+2t

3

)2=

85

9

t2-

154

9

t+

85

9

，
∴

85

9

t2-

154

9

t+

85

9

=（4-2t）²，即

49

9

t2-

10

9

t-

59

9

=0．
解得t=

59

49

或t=-1（舍去）．
∴t=

59

49

．（7分）
∴當(dāng)t的值為

1

2

，

85-18 13

23

，

59

49

時(shí)，
△CMQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有較強(qiáng)的綜合性．