【題目】如圖①,已知拋物線y=ax2﹣4amx+3am2(a、m為參數(shù),且a>0,m>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)(結(jié)果可以含參數(shù)m);
(2)連接CA、CB,若C(0,3m),求tan∠ACB的值;
(3)如圖②,在(2)的條件下,拋物線的對(duì)稱軸為直線l:x=2,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的的等腰直角三角形.若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)B(3m,0);(2)tan∠ACB=;
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)是:()或()或()或().
【解析】
(1)令y=0,解方程ax2﹣4amx+3am2=0,即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,可得△BOC為等腰直角三角形,求出AD,CD,則tan∠ACB的值為;
(3)求出拋物線的解析式,分不同的情況:①當(dāng)P在對(duì)稱軸的左邊,如圖3,過(guò)P作MN⊥y軸,交y軸于M,交l于N,證明△OMP≌△PNF,根據(jù)|OM|=|PN|,列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo);同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo),②當(dāng)P在對(duì)稱軸的左邊,過(guò)P作MN⊥x軸于N,過(guò)F作FM⊥MN于M,同理得△ONP≌△PMF,則可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)令y=0,則有ax2﹣4amx+3am2=0,
解得:x1=m,x2=3m,
∵m>0,A在B的左邊,
∴B(3m,0);
(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,
由(1)可知B(3m,0),則△BOC為等腰直角三角形,
∵OC=OB=3m,
∴BC=3m,
又∵∠ABC=45°,
∴∠DAB=45°,
∴AD=BD,
∵AB=2m,
∴m,CD=2m,
∴tan∠ACB=;
(3)∵由題意知x=2為對(duì)稱軸,
∴2m=2,
即m=1,
∵在(2)的條件下有(0,3m),
∴3m=3am2,
解得m=,即a=1,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3,
①當(dāng)P在對(duì)稱軸的左邊,如圖2,過(guò)P作MN⊥y軸,交y軸于M,交l于N,
∵△OPF是等腰直角三角形,且OP=PF,
易得△OMP≌△PNF,
∴OM=PN,
∵P(m,m2﹣4m+3),
則﹣m2+4m﹣3=2﹣m,
解得:m=或,
∴P的坐標(biāo)為(,)或();
②當(dāng)P在對(duì)稱軸的右邊,
如圖3,過(guò)P作MN⊥x軸于N,過(guò)F作FM⊥MN于M,
同理得△ONP≌△PMF,
∴PN=FM,
則﹣m2+4m﹣3=m﹣2,
解得:x=或;
P的坐標(biāo)為()或();
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是:()或()或()或().
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(問(wèn)題提出)我們知道:同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等,且等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.那么,在一個(gè)圓內(nèi)同一條弦所對(duì)的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系?
(初步思考)(1)如圖,是的弦,,點(diǎn)、分別是優(yōu)弧和劣弧上的點(diǎn),則______°._______°.
(2)如圖,是的弦,圓心角,點(diǎn)P是上不與A、B重合的一點(diǎn),求弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)(用m的代數(shù)式表示).
(問(wèn)題解決)(3)如圖,已知線段,點(diǎn)C在所在直線的上方,且.用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點(diǎn)C所組成的圖形(不寫作法,保留作圖痕跡).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)A(﹣1,2),點(diǎn)B(﹣4,n),與x軸,y軸分別交于點(diǎn)C,D.
(1)求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)圖中①所示的程序,得到了y與x的函數(shù)圖象圖中②,若點(diǎn)M是y軸正半軸上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作PQ∥x軸交圖象于點(diǎn)P、Q,連結(jié)OP、OQ,則下列結(jié)論正確的是( )
A.△OPQ的面積為45
B.x<0時(shí),
C.x>0時(shí),y隨x的增大而增大
D.∠POQ可能等于90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+mx+n交x軸于點(diǎn)A(﹣2,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,2).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)M在拋物線上,且S△AOM=2S△BOC,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作DN⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DN長(zhǎng)度的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】自我省深化課程改革以來(lái),盤錦市某校開設(shè)了:A.利用影長(zhǎng)求物體高度,B.制作視力表,C.設(shè)計(jì)遮陽(yáng)棚,D.制作中心對(duì)稱圖形,四類數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課.規(guī)定每名學(xué)生必選且只能選修一類實(shí)踐活動(dòng)課,學(xué)校對(duì)學(xué)生選修實(shí)踐活動(dòng)課的情況進(jìn)行抽樣調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)圖中信息解決下列問(wèn)題:
(1)本次共調(diào)查______名學(xué)生,扇形統(tǒng)計(jì)圖中B所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為______度;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該校參加實(shí)踐活動(dòng)課的學(xué)生共1200人,求該校參加D類實(shí)踐活動(dòng)課的學(xué)生大約多少人?
(4)選修D類數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的學(xué)生中有2名女生和2名男生表現(xiàn)出色,現(xiàn)從4人中隨機(jī)抽取2人做校報(bào)設(shè)計(jì),請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法求所抽取的兩人恰好是1名女生和1名男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2的圖象如圖,點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A1,A2,A3…An在y軸的正半軸上,點(diǎn)B1,B2,B3…Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上,點(diǎn)C1,C2,C3…n在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上,四邊形A0B1A1C1,四邊形A1B2A2C2,四邊形A2B3A3C3…四邊形An﹣1BnAnn都是正方形,則正方形An﹣1BnAnn的周長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC中,∠ACB=90°,將AB邊繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BD.過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC交BC延長(zhǎng)線于M,
(1)如圖1,請(qǐng)判斷線段AC、CM、MD的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由;
(2)E為DM延長(zhǎng)線上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)E為如圖2所示的位置時(shí),以AE為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△AFE,再過(guò)點(diǎn)F作FN⊥DM于N,探究BM、FN、MN三條線段的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)在問(wèn)題(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)點(diǎn)B、A、F三點(diǎn)恰好在同一直線上,取DE中點(diǎn)P,連接AP,且AB=3,AF=1,請(qǐng)直接寫出AP的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè)是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且滿足.求的值.
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