Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的示意圖．
特別地，當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP′=0

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)．
①分別判斷點(diǎn)M（2，1），N（，0），T（1，）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；
②點(diǎn)P在直線y=﹣x+2上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在x軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，若線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)．

①點(diǎn)M（2，1）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)不存在；

N（，0）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)存在，反稱點(diǎn)N′（，0）；

T（1，）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)存在，反稱點(diǎn)T′（0，0）；

②∵OP≤2r=2，OP2≤4，設(shè)P（x，﹣x+2），

∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，

∴2x2﹣4x≤0，

x（x﹣2）≤0，

∴0≤x≤2．

當(dāng)x=2時(shí)，P（2，0），P′（0，0）不符合題意；

當(dāng)x=0時(shí)，P（0，2），P′（0，0）不符合題意；

∴0＜x＜2；

（2）

解：∵直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，

∴A（6，0），B（0，2），

∴=，

∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．

設(shè)C（x，0）．

①當(dāng)C在OA上時(shí)，作CH⊥AB于H，

則CH≤CP≤2r=2，

所以AC≤2，

C點(diǎn)橫坐標(biāo)x≥2（當(dāng)x=2時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)（2，0），H點(diǎn)的反稱點(diǎn)H′（2，0）在圓的內(nèi)部）；

②當(dāng)C在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

C到線段AB的距離為AC長，AC最大值為8，

所以C點(diǎn)橫坐標(biāo)x≤10．

綜上所述，圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是2≤x≤8．

【解析】（1）①根據(jù)反稱點(diǎn)的定義，可得當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，點(diǎn)M（2，1）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)不存在；N（，0）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)存在，反稱點(diǎn)N′（，0）；T（1，）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)存在，反稱點(diǎn)T′（0，0）；
②由OP≤2r=2，得出OP2≤4，設(shè)P（x，﹣x+2），由勾股定理得出OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分別將x=2與0代入檢驗(yàn)即可；
（2）先由y=﹣x+2，求出A（6，0），B（0，2），則=，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再設(shè)C（x，0），分兩種情況進(jìn)行討論：①C在OA上；②C在A點(diǎn)右側(cè).
此題考查了圓的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有勾股定理，“反對(duì)稱點(diǎn)”的定義與應(yīng)用.