Question

【題目】如圖，以直線x＝1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù))經(jīng)過(guò)A(4，0)和B(0，4)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限內(nèi)．

①設(shè)△ABM的面積為S，試求S的最大值；

②若S為整數(shù)，則這樣的M點(diǎn)有 個(gè)．

Answer 1

【答案】(1)拋物線表達(dá)式為y＝－x2＋x＋4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1， );

(2) ①S△ABM的最大值為4; ②3.

【解析】試題分析： 先利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性確定拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)交點(diǎn)式 然后把點(diǎn)坐標(biāo)代入求出即可得到拋物線的解析式，再把解析式配成頂點(diǎn)式可得的坐標(biāo)；

①過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，則可設(shè) 則 于是用可表示出，再利用 得到與的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
②在的取值范圍內(nèi)找出整數(shù)使對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為整數(shù)即可確定點(diǎn)的位置．

試題解析： ∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為

∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為

設(shè)拋物線的解析式為

把代入得

解得

∴拋物線的解析式為

即

∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

(2)①過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖，

設(shè)的解析式為把代入得

解得

∴直線的解析式為

設(shè)則

∴當(dāng)時(shí)， 有最大值，最大值為；

②

∴當(dāng)時(shí)， 為整數(shù)，

即這樣的點(diǎn)有個(gè).

故答案為.