Question

已知：以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），且經(jīng)過點(diǎn)（4，

5

4

）和（0，-

3

4

）．點(diǎn)P（x，y）在拋物線的頂點(diǎn)M的右側(cè)的半支上（包括頂點(diǎn)M），在x軸上有一點(diǎn)C使△OPC是等腰三角形，OP=PC．
（1）若∠OPC是直角，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交直線AM于點(diǎn)Q，設(shè)△AQC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并畫出它的圖象．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的對(duì)稱軸方程以及拋物線圖象上已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法確定該二次函數(shù)的解析式，從而求出A、B、M的坐標(biāo)，由于點(diǎn)P在M點(diǎn)右側(cè)的半支上運(yùn)動(dòng)，可據(jù)此求出x的取值范圍；
①若點(diǎn)P位于第四象限，可過P作x軸的垂線，設(shè)垂足為D，由于△OPC是等腰Rt△，則OD=DC=PD=x，根據(jù)拋物線的解析式，可表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，聯(lián)立PD的長即可列出關(guān)于x的方程，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)P位于第一象限，過P作PE⊥x軸于E，方法與①相同；
要注意上述兩種情況的自變量的取值范圍，可根據(jù)這個(gè)條件將不合題意的解舍去；
（2）先求出直線AC的解析式，根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，以AC為底，Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，即可得到△QAC的面積，可由此求出S、x的函數(shù)關(guān)系，自變量的取值范圍與（1）題相同．

解答：解法一：
（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+n（a≠0），
∵拋物線過點(diǎn)（4，

5

4

），（0，-

3

4

），
∴

9a+n= 5 4 a+n=- 3 4

，
解得

a= 1 4 n=-1

；
∴y=

1

4

(x-1)2-1=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

；
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1）；
∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），
令y=0，
則

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∵點(diǎn)P（x，y）在拋物線的頂點(diǎn)M的右側(cè)的半支上（包括頂點(diǎn)M），∠OPC是直角，
∴x≥1且x≠3，
在△POC中，OP=PC，∠OPC=90°，
①當(dāng)1≤x＜3時(shí)，點(diǎn)P（x，y）在第四象限內(nèi)（x＞0，y＜0），過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D點(diǎn)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）（如圖1），且PD=OD，
PD=|0-y|=-y，
OD=|x-0|=x，
∴y=-x；
∴-x=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

，
∴x²+2x-3=0；
解得x=1，且x=-3（舍），
∴y=-x=-1；
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）．
②當(dāng)x＞3時(shí)，點(diǎn)P（x，y）在第一象限內(nèi)（x＞0，y＞0），
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0）（如圖1），
且OE=PE，PE=|0-y|=y，OE=|x-0|=x，
∴y=x，
∴x=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

∴x²-6x-3=0，
解得x=3±2

3

（舍負(fù)），
∴y=x=3+2

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3+2

3

，3+2

3

）．
綜合①②，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），或（3+2

3

，3+2

3

）；

（2）設(shè)過點(diǎn)A（-1，0），M（1，-1）的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

-k+b=0 k+b=-1

，
解得

k=- 1 2 b=- 1 2

；
∴直線AM的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

，
∵OP=PC，作PF⊥x軸于F（如圖2），

得OC=2OF，
∵點(diǎn)C在x軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2x，0）（x≥1且x≠3）；
∵CQ⊥x軸于點(diǎn)C，交直線AM于點(diǎn)Q，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2x，-x-

1

2

），
∴S=

1

2

AC•CQ
=

1

2

|2x-（-1）|•|0-（-x-

1

2

）|
=

1

2

（2x+1）（x+

1

2

）
=（x+

1

2

）²
=x²+x+

1

4

；
∴自變量x的取值范圍是x≥1且x≠3，圖象如圖3；
解法二：
（1）接解法一中A（-1，0），B（3，0），
∵PO=PC，
點(diǎn)P（x，y），作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則OC=2OD（如圖1），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2x，0）；
∵∠OPC=90°，
∴OP²+PC²=OC²，
又OP=PC，
∴2OP²=OC²
∴2（y²+x²）=（2x）²；
∴y²=x²；
又∵點(diǎn)P（x，y）在拋物線y=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

上，
∴

y2=x2 y= 1 4 x2- 1 2 x- 3 4

；
解得

x=3+2 3 y=3+2 3     x=3-2 3 y=3-2 3 x=1 y=-1     x=-3 y=3

∵點(diǎn)P在拋物線y=

1

4

x2-

1

2

x-

3

4

的頂點(diǎn)M的右側(cè)的半支上（包括頂點(diǎn)M），∠OPC是直角，
∴x≥1且x≠3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3+2

3

，3+2

3

），或（1，-1）．
（2）同解法一．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．