Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝x2＋（k－1）x－2k－3．

（1）求證：該二次函數(shù)圖像與x軸總有兩個公共點；

（2）若點A（－1，y1）、B（1，y2）在該二次函數(shù)的圖像上，且y1＞y2，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）k＜1．

【解析】分析：（1）根據(jù)△恒大于0即可證明；（2）將x=-1和x=1代入y＝x2＋（k－1）x－2k－3,再根據(jù)，可得結(jié)果.

本題解析：

（1）由題意得，令，得到方程

a＝1，b＝k﹣1，c＝﹣2k﹣3，則b2﹣4ac＝（k﹣1）2﹣4（﹣2k﹣3）＝k2＋6k＋13＝（k＋3）2＋4，．

∵，∴（k＋3）2＋4＞0，即，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根

∴二次函數(shù)圖像與x軸有兩個公共點． ．

（2）∵A（－1，y1）、B（1，y2）在該二次函數(shù)的圖像上，∴y1＝1﹣（k﹣1）﹣2k﹣3＝﹣3k﹣1，y2＝1+k﹣1﹣2k﹣3＝﹣k﹣3，又∵y1＞y2，∴﹣3k﹣1＞﹣k﹣3，解得k＜1． ．

（另解：數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖像可得： ，解得k＜1）