Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A所對(duì)弧的度數(shù)為120度．∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于AC、AB于點(diǎn)D、E，CE、BD相交于點(diǎn)F．以下四個(gè)結(jié)論：①cos∠BFE=

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2

；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中結(jié)論一定正確的序號(hào)數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：①由于∠A所對(duì)弧的度數(shù)為120°，根據(jù)圓周角定理可知∠A=60°；在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，即∠FBC+∠FCB=60°，而∠BFE正好是△BFC的外角，即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°，即cos∠BFE=

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；故正確；
②若BC=BD，需滿足一個(gè)條件：∠BCD=∠BDC，且看這兩個(gè)角的表達(dá)式：∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA；∠BDC=∠DBA+∠A=60°+∠DBA；聯(lián)立兩式，可得∠DBA=20°；此時(shí)∠ABC=40°，而沒(méi)有任何條件可以說(shuō)明∠ABC的度數(shù)是40°，即可得出本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
③由于F是∠ABC和∠ACB角平分線的交點(diǎn)，因此F是△ABC的內(nèi)心，可過(guò)F作AB、AC的垂線，通過(guò)證構(gòu)建的直角三角形全等，得出FE=FD的結(jié)論，因結(jié)論正確；
④若BF=2DF，則F是△ABC的重心，即三邊中線的交點(diǎn)，而題目給出的條件是F是△ABC的內(nèi)心，顯然兩者的結(jié)論相矛盾，因此不正確．
所以本題正確的結(jié)論：①③．

解答：解：∵∠A所對(duì)弧的度數(shù)為120°
∴∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分線分別是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF=

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（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=

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，
∴即cos∠BFE=

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；故①正確；
∵∠BDC=∠A+

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2

∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立，則應(yīng)有∠BDC=∠BCA
應(yīng)有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此時(shí)∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根據(jù)題意，沒(méi)有條件可以說(shuō)明∠ABC是40°，
故②錯(cuò)誤；
∵點(diǎn)F是△ABC內(nèi)心，作FW⊥AC，F(xiàn)S⊥AB
則FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正確；
由于點(diǎn)F是內(nèi)心而不是各邊中線的交點(diǎn)，故BF=2DF不一定成立，因此④不正確．
因此本題正確的結(jié)論為①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了三角形內(nèi)角和定理，余弦的概念，角的平分線的性質(zhì)，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．